Sea $ T$ el conjunto de todos los divisores enteros positivos de $ 2004^{100}$ . ¿Cuál es el mayor número posible de elementos de un subconjunto $ S$ de $ T$ tal que ningún elemento en $ S$ divide a ningún otro elemento en $ S$ ?

Sea $p$ un primo impar. Demuestre que: \[\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}k^{2p-1} \equiv \frac{p(p+1)}{2} \pmod{p^2}\]

Sean $ A,B,C,D$ cuatro puntos en un círculo (que ocurren en el sentido de las agujas del reloj), con $ AB<AD$ y $ BC>CD$ . Las bisectrices de los ángulos $ BAD$ y $ BCD$ se encuentran con el círculo en $ X$ e $ Y$ , respectivamente. Considere el hexágono formado por estos seis puntos en el círculo. Si cuatro de los seis lados del hexágono tienen la misma longitud, demuestre que $ BD$ debe ser un diámetro del círculo.

¿De cuántas maneras se pueden colocar $ 8$ torres mutuamente no atacantes en el tablero de ajedrez de $ 9\times9$ (que se muestra aquí) de modo que las $ 8$ torres estén en casillas del mismo color? (Se dice que dos torres se atacan entre sí si se colocan en la misma fila o columna del tablero.) [asy]unitsize(3mm);\ndefaultpen(white);\nfill(scale(9)*unitsquare,black);\nfill(shift(1,0)*unitsquare);\nfill(shift(3,0)*unitsquare);\nfill(shift(5,0)*unitsquare);\nfill(shift(7,0)*unitsquare);\n\nfill(shift(0,1)*unitsquare);\nfill(shift(2,1)*unitsquare);\nfill(shift(4,1)*unitsquare);\nfill(shift(6,1)*unitsquare);\nfill(shift(8,1)*unitsquare);\n\nfill(shift(1,2)*unitsquare);\nfill(shift(3,2)*unitsquare);\nfill(shift(5,2)*unitsquare);\nfill(shift(7,2)*unitsquare);\n\nfill(shift(0,3)*unitsquare);\nfill(shift(2,3)*unitsquare);\nfill(shift(4,3)*unitsquare);\nfill(shift(6,3)*unitsquare);\nfill(shift(8,3)*unitsquare);\n\nfill(shift(1,4)*unitsquare);\nfill(shift(3,4)*unitsquare);\nfill(shift(5,4)*unitsquare);\nfill(shift(7,4)*unitsquare);\n\nfill(shift(0,5)*unitsquare);\nfill(shift(2,5)*unitsquare);\nfill(shift(4,5)*unitsquare);\nfill(shift(6,5)*unitsquare);\nfill(shift(8,5)*unitsquare);\n\nfill(shift(1,6)*unitsquare);\nfill(shift(3,6)*unitsquare);\nfill(shift(5,6)*unitsquare);\nfill(shift(7,6)*unitsquare);\n\nfill(shift(0,7)*unitsquare);\nfill(shift(2,7)*unitsquare);\nfill(shift(4,7)*unitsquare);\nfill(shift(6,7)*unitsquare);\nfill(shift(8,7)*unitsquare);\n\nfill(shift(1,8)*unitsquare);\nfill(shift(3,8)*unitsquare);\nfill(shift(5,8)*unitsquare);\nfill(shift(7,8)*unitsquare);\n\ndraw(scale(9)*unitsquare,black);[/asy]

Encuentra todas las ternas ordenadas $ (x,y,z)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[ \left\{\begin{array}{rcl} xy & = & z - x - y \ xz & = & y - x - z \ yz & = & x - y - z \end{array} \right. \]

Dados los números $ 1,2,2^2, \ldots ,2^{n-1}$ , para una permutación específica $ \sigma = x_1,x_2, \ldots, x_n$ de estos números definimos $ S_1(\sigma) = x_1$ , $ S_2(\sigma)=x_1+x_2$ , $ \ldots$ y $ Q(\sigma)=S_1(\sigma)S_2(\sigma)\cdot \cdot \cdot S_n(\sigma)$ . Evalúa $ \sum 1/Q(\sigma)$ , donde la suma se toma sobre todas las permutaciones posibles.

Hay 5 monos y 5 escaleras y en la parte superior de cada escalera hay un plátano. Un número de cuerdas conectan las escaleras, cada cuerda conecta dos escaleras. No hay dos cuerdas unidas al mismo peldaño de la misma escalera. Cada mono comienza en la parte inferior de una escalera diferente. Los monos suben por las escaleras, pero cada vez que se encuentran con una cuerda, la suben hasta la otra escalera al final de la cuerda y luego continúan subiendo. Demuestra que, no importa cuántas cuerdas haya, cada mono obtiene un plátano.

Define $ \{ a_n \}_{n=1}$ de la siguiente manera: $ a_1 = 1989^{1989}; \ a_n, n > 1,$ es la suma de los dígitos de $ a_{n-1}$ . ¿Cuál es el valor de $ a_5$ ?

Sea $ ABC$ un triángulo rectángulo de área 1. Sean $ A'B'C'$ los puntos obtenidos al reflejar $ A,B,C$ respectivamente, en sus lados opuestos. Encuentra el área de $ \triangle A'B'C'.$

Los enteros $ 1,2,...,n$ se colocan en orden de modo que cada valor sea estrictamente mayor que todos los valores precedentes o estrictamente menor que todos los valores precedentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?