Sea $m$ un entero positivo. Defina la secuencia $a_0, a_1, a_2, \cdots$ por $a_0 = 0,\; a_1 = m,$ y $a_{n+1} = m^2a_n - a_{n-1}$ para $n = 1,2,3,\cdots$. Pruebe que un par ordenado $(a,b)$ de enteros no negativos, con $a \leq b$, da una solución a la ecuación \[ {\displaystyle \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} = m^2} \] si y solo si $(a,b)$ es de la forma $(a_n,a_{n+1})$ para algún $n \geq 0$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{BAC} = 40^{\circ}$ y $\angle{ABC}=60^{\circ}$. Sean $D$ y $E$ los puntos que se encuentran en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $\angle{CBD} = 40^{\circ}$ y $\angle{BCE} = 70^{\circ}$. Sea $F$ el punto de intersección de las líneas $BD$ y $CE$. Demuestre que la línea $AF$ es perpendicular a la línea $BC$.

Sea $n$ un número natural tal que $n \geq 2$. Demuestre que \[ \frac {1}{n + 1} \left( 1 + \frac {1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac {1}{2n - 1} \right) > \frac {1}{n} \left( \frac {1}{2} + \frac {1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac {1}{2n} \right). \]

Encuentre todos los números reales $x$ tales que: \[ x = \sqrt{ x - \frac{1}{x} } + \sqrt{ 1 - \frac{1}{x} } \]

Determine el número de soluciones reales $a$ a la ecuación: \[ \left[\,\frac{1}{2}\;a\,\right]+\left[\,\frac{1}{3}\;a\,\right]+\left[\,\frac{1}{5}\;a\,\right] = a. \] Aquí, si $x$ es un número real, entonces $[\,x\,]$ denota el entero más grande que es menor o igual a $x$.

Sea la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$ tangente a los lados $ BC,\, CA$ y $ AB$ en $ D,\, E$ y $ F,$ respectivamente. Sean $ \omega,\,\omega_{1},\,\omega_{2}$ y $ \omega_{3}$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $ ABC,\, AEF,\, BDF$ y $ CDE$ respectivamente. Sean $ \omega$ y $ \omega_{1}$ que se intersectan en $ A$ y $ P,\,\omega$ y $ \omega_{2}$ que se intersectan en $ B$ y $ Q,\,\omega$ y $ \omega_{3}$ que se intersectan en $ C$ y $ R.$ $ a.$ Demuestre que $ \omega_{1},\,\omega_{2}$ y $ \omega_{3}$ se intersectan en un punto común. $ b.$ Demuestre que $ PD,\, QE$ y $ RF$ son concurrentes.

Para dos números reales $ a$ , $ b$ , con $ ab\neq 1$ , defina la operación $ \ast$ por \[ a\ast b=\frac{a+b-2ab}{1-ab}.\] Comience con una lista de $ n\geq 2$ números reales cuyas entradas $ x$ satisfagan $ 0<x<1$ . Seleccione dos números cualesquiera $ a$ y $ b$ en la lista; retírelos y coloque el número $ a\ast b$ al final de la lista, reduciendo así su longitud en uno. Repita este procedimiento hasta que quede un solo número. $ a.$ Demuestre que este único número es el mismo independientemente de la elección del par en cada etapa. $ b.$ Suponga que la condición sobre los números $ x$ se debilita a $ 0<x\leq 1$ . ¿Qué sucede si la lista contiene exactamente un $ 1$ ?

Suponga que $ f$ es una función con valores reales para la cual \[ f(xy)+f(y-x)\geq f(y+x)\] para todos los números reales $ x$ e $ y$ . a) Dé un polinomio no constante que satisfaga la condición. b) Demuestre que $ f(x)\geq 0$ para todo $ x$ real.

Se le da un par de triángulos para los cuales dos lados de un triángulo son iguales en longitud a dos lados del segundo triángulo, y los triángulos son similares, pero no necesariamente congruentes. Demuestre que la razón de los lados que corresponden bajo la similitud es un número entre $ \frac {1}{2}(\sqrt {5} - 1)$ y $ \frac {1}{2}(\sqrt {5} + 1)$ .

¿Cuál es el número máximo de dominós de $2 \times 1$ no superpuestos que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8 \times 9$ si seis de ellos se colocan como se muestra? Cada dominó debe colocarse horizontal o verticalmente para cubrir dos cuadrados adyacentes del tablero.