Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios con coeficientes enteros. Sea $a_n = n! +n$ . Demuestra que si $\frac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ es un entero para cada $n$ , entonces $\frac{P(n)}{Q(n)}$ es un entero para cada entero $n$ tal que $Q(n)\neq 0$ .

Cada vértice de un grafo finito puede colorearse de negro o blanco. Inicialmente todos los vértices son negros. Se nos permite elegir un vértice $P$ y cambiar el color de $P$ y todos sus vecinos. ¿Es posible cambiar el color de cada vértice de negro a blanco mediante una secuencia de operaciones de este tipo? Nota: Un grafo finito consta de un conjunto finito de vértices y un conjunto finito de aristas entre vértices. Si hay una arista entre el vértice $A$ y el vértice $B,$ entonces $A$ y $B$ son vecinos entre sí.

Tres patinadores de velocidad tienen una 'carrera' amistosa en un óvalo de patinaje. Todos comienzan desde el mismo punto y patinan en la misma dirección, pero con diferentes velocidades que mantienen durante toda la carrera. El patinador más lento da $1$ vuelta por minuto, el más rápido da $3.14$ vueltas por minuto, y el del medio da $L$ vueltas por minuto para algún $1 < L < 3.14$ . La carrera termina en el momento en que los tres patinadores se juntan nuevamente en el mismo punto en el óvalo (que puede diferir del punto de partida). Determine el número de opciones diferentes para $L$ tales que ocurran exactamente $117$ pasadas antes del final de la carrera. Nota: Una pasada se define como cuando un patinador pasa a otro. El comienzo y el final de la carrera cuando los tres patinadores están juntos no se cuentan como pasadas.

Sean $A,B,P$ tres puntos en un círculo. Demuestra que si $a,b$ son las distancias desde $P$ a las tangentes en $A,B$ respectivamente, y $c$ es la distancia desde $P$ a la cuerda $AB$ , entonces $c^2 =ab$ .

Para todo $n$ natural, una $n$ - escalera es una figura que consta de cuadrados unitarios, con un cuadrado en la primera fila, dos cuadrados en la segunda fila, y así sucesivamente, hasta $n$ cuadrados en la $n^{th}$ fila, de modo que todos los cuadrados del extremo izquierdo en cada fila están alineados verticalmente. Sea $f(n)$ denota el número mínimo de baldosas cuadradas necesarias para pavimentar la $n$ - escalera, donde las longitudes de los lados de las baldosas cuadradas pueden ser cualquier número natural. por ejemplo, $f(2)=3$ y $f(4)=7$ . (a) Encuentra todos los $n$ tales que $f(n)=n$ . (b) Encuentra todos los $n$ tales que $f(n) = n+1$ .

Esboce la gráfica de $x^3 + xy + y^3 = 3$.

Eva y Odette juegan un juego en un tablero de ajedrez de $3\times 3$, con damas negras y damas blancas. Las reglas son las siguientes: $\text{I.}$ Juegan alternativamente. $\text{II.}$ Un turno consiste en colocar una dama en un cuadrado desocupado del tablero. $\text{III.}$ En su turno, una jugadora puede seleccionar una dama blanca o una dama negra y no siempre tiene que usar el mismo color. $\text{IV.}$ Cuando el tablero está lleno, Eva obtiene un punto por cada fila, columna o diagonal que tenga un número par de damas negras, y Odette obtiene un punto por cada fila, columna o diagonal que tenga un número impar de damas negras. $\text{V.}$ La jugadora que obtenga al menos cinco de los ocho puntos GANA.

Los lados $AD$ y $BC$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se extienden hasta encontrarse en $E$. Sean $H$ y $G$ los puntos medios de $BD$ y $AC$, respectivamente. Encuentre la razón del área del triángulo $EHG$ a la del cuadrilátero $ABCD$.

Determine el número real más grande $z$ tal que $x + y + z = 5$ $xy + yz + xz = 3$ y $x$, $y$ también son reales.

Encuentra todos los pares de $a$, $b$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $2a^2 = 3b^3$.