Sea $n$ un entero. Si el dígito de las decenas de $n^2$ es 7, ¿cuál es el dígito de las unidades de $n^2$?

Dados $7$ números reales cualesquiera, demuestra que hay dos de ellos $x,y$ tales que $0\le\frac{x-y}{1+xy}\le\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Un triángulo acutángulo tiene área unitaria. Demuestra que hay un punto dentro del triángulo cuya distancia a cada uno de los vértices es al menos $\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$ .

Un entero es digitalmente divisible si se cumplen las dos condiciones siguientes:\n$(a)$ Ninguno de sus dígitos es cero;\n$(b)$ Es divisible por la suma de sus dígitos, por ejemplo, $322$ es digitalmente divisible.\n\nDemuestra que hay infinitos enteros digitalmente divisibles.

Alicia y Bob están en una ferretería. La tienda vende fundas de colores que se ajustan a las llaves para distinguirlas. Tiene lugar la siguiente conversación: Alicia: ¿Vas a cubrir tus llaves? Bob: Me gustaría, pero solo hay $7$ colores y tengo $8$ llaves. Alicia: Sí, pero siempre podrías distinguir una llave notando que la llave roja al lado de la llave verde era diferente de la llave roja al lado de la llave azul. Bob: Debes tener cuidado con lo que quieres decir con 'al lado de' o 'tres llaves más allá de' ya que puedes dar la vuelta al llavero y las llaves están dispuestas en un círculo. Alicia: Aun así, no necesitas $8$ colores.\n Problema: ¿Cuál es el número más pequeño de colores necesarios para distinguir $n$ llaves si todas las llaves deben estar cubiertas?

Demuestra que la suma de los cuadrados de $1984$ enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero.

Los vértices de un triángulo rectángulo $ABC$ inscrito en un círculo dividen la circunferencia en tres arcos. El ángulo recto está en $A$ , de modo que el arco opuesto $BC$ es un semicírculo, mientras que el arco $BC$ y el arco $AC$ son suplementarios. A cada uno de los tres arcos, dibujamos una tangente de manera que su punto de tangencia sea el punto medio de esa porción de la tangente interceptada por las líneas extendidas $AB,AC$ . Más precisamente, el punto $D$ en el arco $BC$ es el punto medio del segmento que une los puntos $D'$ y $D''$ donde la tangente en $D$ interseca las líneas extendidas $AB,AC$ . Similarmente para $E$ en el arco $AC$ y $F$ en el arco $AB$ . Demuestre que el triángulo $DEF$ es equilátero.

Considere un torneo todos contra todos con $2n+1$ equipos, donde cada equipo juega contra cada otro equipo exactamente una vez. Decimos que tres equipos $X,Y$ y $Z$ , forman un ciclo triplete si $X$ vence a $Y$ , $Y$ vence a $Z$ y $Z$ vence a $X$ . No hay empates. a) Determine el número mínimo de ciclos tripletes posibles. b) Determine el número máximo de ciclos tripletes posibles.

En una matriz rectangular de reales no negativos con $m$ filas y $n$ columnas, cada fila y cada columna contiene al menos un elemento positivo. Además, si una fila y una columna se intersecan en un elemento positivo, entonces las sumas de sus elementos son iguales. Demuestre que $m=n$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Inscriba un rectángulo $DEFG$ en este triángulo tal que $D\in AB,E\in AC,F\in BC,G\in BC$ . Describa el lugar geométrico de (es decir, la curva ocupada por) las intersecciones de las diagonales de todos los rectángulos $DEFG$ posibles.