Sea $ f(n,k)$ el número de formas de distribuir $ k$ caramelos a $ n$ niños de manera que cada niño reciba a lo sumo $ 2$ caramelos. Por ejemplo $ f(3,7) = 0,f(3,6) = 1,f(3,4) = 6$ . Determine el valor de $ f(2006,1) + f(2006,4) + \ldots + f(2006,1000) + f(2006,1003) + \ldots + f(2006,4012)$ .

Sean $r_1$ , $r_2$ , $\ldots$ , $r_m$ un conjunto dado de $m$ números racionales positivos tales que $\sum_{k=1}^m r_k = 1$ . Defina la función $f$ por $f(n)= n-\sum_{k=1}^m \: [r_k n]$ para cada entero positivo $n$ . Determine los valores mínimo y máximo de $f(n)$ . Aquí ${\ [ x ]}$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ .

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ . Suponga que la bisectriz del ángulo $\angle B$ se encuentra con el lado $AC$ en un punto $D$ y que $BC = BD+AD$ . Determine $\angle A$ .

Denotamos una permutación arbitraria de los enteros $1$ , $2$ , $\ldots$ , $n$ por $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ . Sea $f(n)$ denota el número de estas permutaciones tales que: (1) $a_1 = 1$ ; (2) : $|a_i - a_{i+1}| \leq 2$ , $i = 1, \ldots, n - 1$ . Determine si $f(1996)$ es divisible por 3.

Encuentre todas las soluciones reales al siguiente sistema de ecuaciones. Justifique cuidadosamente su respuesta. \[ \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{4x^2}{1+4x^2} = y \\ \\ \displaystyle\frac{4y^2}{1+4y^2} = z \\ \\ \displaystyle\frac{4z^2}{1+4z^2} = x \end{array} \right. \]

Si $\alpha$ , $\beta$ , y $\gamma$ son las raíces de $x^3 - x - 1 = 0$ , calcule $\frac{1+\alpha}{1-\alpha} + \frac{1+\beta}{1-\beta} + \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ .

Fije enteros positivos $n$ y $k\ge 2$. Una lista de $n$ enteros está escrita en una fila en una pizarra. Puede elegir un bloque contiguo de enteros, y yo agregaré $1$ a todos ellos o restaré $1$ de todos ellos. Puede repetir este paso tan a menudo como quiera, posiblemente adaptando sus selecciones en función de lo que hago. Demuestre que después de un número finito de pasos, puede llegar a un estado en el que al menos $n-k+2$ de los números en la pizarra son todos simultáneamente divisibles por $k$.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo. El punto $P$ se encuentra en el interior de $ABCD$, y $\angle P AB = \angle P BC = \angle P CD = \angle P DA$. Las líneas $AD$ y $BC$ se encuentran en $Q$, y las líneas $AB$ y $CD$ se encuentran en $R$. Demuestre que las líneas $P Q$ y $P R$ forman el mismo ángulo que las diagonales de $ABCD$.

Sea $p$ un primo impar fijo. Una $p$-tupla $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p)$ de enteros se dice que es buena si (i) $0\le a_i\le p-1$ para todo $i$, y (ii) $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p$ no es divisible por $p$, y (iii) $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1$ es divisible por $p$. Determine el número de $p$-tuplas buenas.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos impares. Cada cuadrado de un tablero de $m$ por $n$ se colorea de rojo o azul. Se dice que una fila está dominada por el rojo si hay más cuadrados rojos que azules en la fila. Se dice que una columna está dominada por el azul si hay más cuadrados azules que rojos en la columna. Determine el valor máximo posible del número de filas dominadas por el rojo más el número de columnas dominadas por el azul. Exprese su respuesta en términos de $m$ y $n$.