Sean $a_1,a_2,\dots,a_n$ números reales positivos cuyo producto es $1$. Demuestre que la suma $\textstyle\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\frac{a_3}{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)}+\cdots+\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}$ es mayor o igual a $\frac{2^n-1}{2^n}$.

Escriba la suma $\sum_{i=0}^{n}{\frac{(-1)^i\cdot\binom{n}{i}}{i^3 +9i^2 +26i +24}}$ como la razón de dos polinomios definidos explícitamente con coeficientes enteros.

El punto $O$ está situado dentro del paralelogramo $ABCD$ tal que $\angle AOB+\angle COD=180^{\circ}$ . Pruebe que $\angle OBC=\angle ODC$ .

Pruebe que $\frac{1}{1999}< \prod_{i=1}^{999}{\frac{2i-1}{2i}}<\frac{1}{44}$ .

El intervalo cerrado $A = [0, 50]$ es la unión de un número finito de intervalos cerrados, cada uno de longitud $1$ . Pruebe que algunos de los intervalos pueden ser removidos de modo que los restantes sean mutuamente disjuntos y tengan longitud total mayor que $25$ . Nota: Para reales $a\le b$ , el intervalo cerrado $[a, b] := \{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}$ tiene longitud $b-a$ ; intervalos disjuntos tienen intersección vacía.

Determine el número de pares de enteros positivos $x,y$ tales que $x\le y$ , $\gcd (x,y)=5!$ y $\text{lcm}(x,y)=50!$ .

Sea $1 < x_1 < 2$ y, para $n = 1$, 2, $\dots$, defina $x_{n + 1} = 1 + x_n - \frac{1}{2} x_n^2$. Pruebe que, para $n \ge 3$, $|x_n - \sqrt{2}| < 2^{-n}$.

Pruebe que $2^{n - 1}$ divide a $n!$ si y solo si $n = 2^{k - 1}$ para algún entero positivo $k$.

Sean $P_1$ y $P_2$ polígonos regulares de 1985 lados y perímetros $x$ e $y$ respectivamente. Cada lado de $P_1$ es tangente a un círculo dado de circunferencia $c$ y este círculo pasa por cada vértice de $P_2$. Pruebe que $x + y \ge 2c$. (Puede asumir que $\tan \theta \ge \theta$ para $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ .)

Pruebe o refute que existe un entero que se duplica cuando el dígito inicial se transfiere al final.