Las longitudes de los lados de un triángulo son 6, 8 y 10 unidades. Demuestre que hay exactamente una línea recta que biseca simultáneamente el área y el perímetro del triángulo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $AD$ la altura sobre $BC$, y sea $H$ cualquier punto interior en $AD$. Las líneas $BH,CH$, cuando se extienden, intersecan a $AC,AB$ en $E,F$ respectivamente. Demuestre que $\angle EDH=\angle FDH$.

Sea $AB$ un diámetro de un círculo $\Omega$ y $P$ cualquier punto que no esté en la línea que pasa por $AB$. Suponga que la línea que pasa por $PA$ corta a $\Omega$ nuevamente en $U$, y la línea que pasa por $PB$ corta a $\Omega$ en $V$. Tenga en cuenta que, en caso de tangencia, $U$ puede coincidir con $A$ o $V$ puede coincidir con $B$. Además, si $P$ está en $\Omega$ entonces $P=U=V$. Suponga que $|PU|=s|PA|$ y $|PV|=t|PB|$ para algunos $0\le s,t\in \mathbb{R}$. Determine $\cos \angle APB$ en términos de $s,t$.

$25$ hombres se sientan alrededor de una mesa circular. Cada hora hay una votación, y cada uno debe responder sí o no. Cada hombre se comporta de la siguiente manera: en la votación $n^{\text{th}}$, si su respuesta es la misma que la respuesta de al menos una de las dos personas entre las que se sienta, entonces responderá de la misma manera en la votación $(n+1)^{\text{th}}$ que en la votación $n^{\text{th}}$; pero si su respuesta es diferente de la de sus dos vecinos en la votación $n^{\text{th}}$, entonces su respuesta en la votación $(n+1)^{\text{th}}$ será diferente de su respuesta en la votación $n^{\text{th}}$. Demuestre que, como sea que todos hayan respondido en la primera votación, habrá un momento después del cual la respuesta de nadie cambiará jamás.

Demuestre que $(\sqrt{2}-1)^n$ $\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$ puede ser representado como $\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$ para algún $m\in \mathbb{Z}^{+}$ .

Evalúe $\sum_{n=1}^{1994}{\left((-1)^{n}\cdot\left(\frac{n^2 + n + 1}{n!}\right)\right)}$ .

Sean $P_0$ , $P_1$ , $P_2$ tres puntos en la circunferencia de un círculo con radio $1$ , donde $P_1P_2 = t < 2$ . Para cada $i \ge 3$ , define $P_i$ como el centro de la circunferencia circunscrita del $\triangle P_{i-1} P_{i-2} P_{i-3}$ .\n(1) Demuestra que los puntos $P_1, P_5, P_9, P_{13},\cdots$ son colineales.\n(2) Sea $x$ la distancia de $P_1$ a $P_{1001}$ , y sea $y$ la distancia de $P_{1001}$ a $P_{2001}$ . Determina todos los valores de $t$ para los cuales $\sqrt[500]{ \frac xy}$ es un entero.

Sea $n$ un entero positivo. A Nancy se le da una tabla rectangular en la que cada entrada es un entero positivo. Se le permite hacer cualquiera de los siguientes dos movimientos:\n(1) seleccionar una fila y multiplicar cada entrada en esta fila por $n$ ;\n(2) seleccionar una columna y restar $n$ de cada entrada en esta columna.\nEncuentra todos los valores posibles de $n$ para los cuales la siguiente afirmación es verdadera: Dada cualquier tabla rectangular, es posible para Nancy realizar una secuencia finita de movimientos para crear una tabla en la que cada entrada es $0$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AC > AB$ . Sea $P$ el punto de intersección de la bisectriz perpendicular de $BC$ y la bisectriz interna del ángulo $\angle{A}$ . Construye puntos $X$ en $AB$ (extendido) e $Y$ en $AC$ tales que $PX$ sea perpendicular a $AB$ e $PY$ sea perpendicular a $AC$ . Sea $Z$ el punto de intersección de $XY$ y $BC$ . Determina el valor de $\frac{BZ}{ZC}$ .

Hay un tablero numerado de $-10$ a $10$ . Cada casilla está coloreada de rojo o blanco, y la suma de los números en las casillas rojas es $n$ . Maureen comienza con una ficha en la casilla etiquetada $0$ . Luego, lanza una moneda justa diez veces. Cada vez que lanza cara, mueve la ficha una casilla hacia la derecha. Cada vez que lanza cruz, mueve la ficha una casilla hacia la izquierda. Al final de los diez lanzamientos, la probabilidad de que la ficha termine en una casilla roja es un número racional de la forma $\frac a b$ . Dado que $a + b = 2001$ , determina el valor más grande posible para $n$ .