Randy: 'Hola Rachel, esa es una ecuación cuadrática interesante que has escrito. ¿Cuáles son sus raíces?'\nRachel: 'Las raíces son dos enteros positivos. Una de las raíces es mi edad, y la otra raíz es la edad de mi hermano menor, Jimmy.'\nRandy: '¡Eso es muy bueno! Déjame ver si puedo averiguar cuántos años tienen tú y Jimmy. Eso no debería ser muy difícil ya que todos tus coeficientes son enteros. Por cierto, noto que la suma de los tres coeficientes es un número primo.'\nRachel: 'Interesante. Ahora averigua cuántos años tengo.'\nRandy: 'En cambio, adivinaré tu edad y la sustituiré por $x$ en tu ecuación cuadrática $\dots$ ¡maldición, eso me da $-55$ , y no $0$ .'\nRachel: '¡Oh, déjame en paz!'\n(1) Demuestra que Jimmy tiene dos años.\n(2) Determina la edad de Rachel.

Sea $\{m, n, k\}$ enteros positivos. Se colocan $\{k\}$ monedas en los cuadrados de una cuadrícula de $m \times n$. Un cuadrado puede contener cualquier número de monedas, incluyendo cero. Etiquete las $\{k\}$ monedas $C_1, C_2, · · · C_k$ . Sea $r_i$ el número de monedas en la misma fila que $C_i$ , incluyendo a la propia $C_i$ . Sea $s_i$ el número de monedas en la misma columna que $C_i$ , incluyendo a la propia $C_i$ . Demuestre que $$\sum_{i=1}^k \frac{1}{r_i+s_i} \leq \frac{m+n}{4}$$

Sea $ABC$ un triángulo con $|AB| < |AC|$ , donde $| · |$ denota la longitud. Suponga que $D, E, F$ son puntos en el lado $BC$ tales que $D$ es el pie de la perpendicular en $BC$ desde $A$ , $AE$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ , y $F$ es el punto medio de $BC$ . Además, suponga que $\angle BAD = \angle DAE = \angle EAF = \angle FAC$ . Determine todos los valores posibles de $\angle ABC$ .

Sean $a,b,c$ números reales, que no son todos iguales, tales que $$a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3.$$ Demuestre que al menos uno de $a, b, c$ es negativo.

Alice tiene cuatro cajas, $327$ bolas azules y $2022$ bolas rojas. Las bolas azules están etiquetadas del $1$ al $327$. Primero, Alice pone cada una de las bolas en una caja, posiblemente dejando algunas cajas vacías. Luego, se selecciona una etiqueta aleatoria entre $1$ y $327$ (inclusive), Alice encuentra la caja en la que está la bola con la etiqueta y selecciona una bola aleatoria de esa caja. ¿Cuál es la probabilidad máxima de que seleccione una bola roja?

Para un entero no negativo $n$ , llame a un polinomio de una variable $F$ con coeficientes enteros $n$ - bueno si:\n(a) $F(0) = 1$\n(b) Para cada entero positivo $c$ , $F(c) > 0$, y\n(c) Existen exactamente $n$ valores de $c$ tales que $F(c)$ es primo.\nDemuestre que existen infinitos polinomios no constantes que no son $n$ - buenos para ningún $n$.

Considere $n$ números reales $x_0, x_1, . . . , x_{n-1}$ para un entero $n \ge 2$. Además, suponga que para cualquier entero $i$ , $x_{i+n} = x_i$. Pruebe que $$\sum^{n-1}_{i=0} x_i(3x_i - 4x_{i+1} + x_{i+2}) \ge 0.$$

Determine todos los pares de enteros $(m, n)$ tales que $m^2 + n$ y $n^2 + m$ son ambos cuadrados perfectos.

Sea $n \geq 2$ un entero positivo. En una nave espacial, hay $n$ tripulantes. A lo sumo, una acusación de ser un impostor puede ocurrir de un tripulante a otro. Se lanzan múltiples acusaciones, con las siguientes propiedades: \n• Cada tripulante hizo un número diferente de acusaciones.\n• Cada tripulante recibió un número diferente de acusaciones.\n• Un tripulante no se acusa a sí mismo.\nDemuestre que no hay dos tripulantes que se hayan acusado entre sí.

Para cualquier entero no negativo dado $m$ , sea $f(m)$ el número de $1$ 's en la representación en base $2$ de $m$ . Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que el entero $$\sum^{2^n - 1}_{m = 0} \Big( (-1)^{f(m)} \cdot 2^m \Big)$$ contiene al menos $n!$ divisores positivos.