Un bicho está parado en cada uno de los vértices de un hexágono regular $ABCDEF$ . Al mismo tiempo, cada bicho elige uno de los vértices del hexágono, en el que no está actualmente, e inmediatamente comienza a moverse hacia ese vértice. Cada bicho viaja en línea recta desde el vértice en el que estaba originalmente hasta el vértice que eligió. Todos los bichos viajan a la misma velocidad y son de tamaño insignificante. Una vez que un bicho llega a un vértice que eligió, se queda allí. ¿De cuántas maneras pueden los bichos moverse a los vértices para que no haya dos bichos en el mismo lugar al mismo tiempo?

Dado un triángulo $A, B, C, X$ está en el lado $AB$ , $Y$ está en el lado $AC$ , y $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ tal que $AX = AY , BX = BP$ y $CY = CQ$ . Sean $XP$ e $YQ$ se intersecan en $T$ . Demuestre que $AT$ pasa por el punto medio de $PQ$ .

Sea $f(x) = x^4 + 2x^3 - x - 1$ .\n(a) Demuestre que $f(x)$ no se puede escribir como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.\n(b) Encuentre los valores exactos de las 4 raíces de $f(x)$ .

En $\triangle ABC$ , los lados interiores de los cuales son espejos, se coloca un láser en el punto $A_1$ en el lado $BC$ . Un rayo láser sale del punto $A_1$ , golpea el lado $AC$ en el punto $B_1$ , y luego se refleja en el lado. (Debido a que este es un rayo láser, cada vez que golpea un lado, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). Luego golpea el lado $AB$ en el punto $C_1$ , luego el lado $BC$ en el punto $A_2$ , luego el lado $AC$ nuevamente en el punto $B_2$ , luego el lado $AB$ nuevamente en el punto $C_2$ , luego el lado $BC$ nuevamente en el punto $A_3$ , y finalmente, el lado $AC$ nuevamente en el punto $B_3$ .\n(a) Demuestre que $\angle B_3A_3C = \angle B_1A_1C$ .\n(b) Demuestre que tal láser existe si y solo si todos los ángulos en $\triangle ABC$ son menores que $90^{\circ}$ .

Sea $1000 \leq n = \text{ABCD}_{10} \leq 9999$ un entero positivo cuyos dígitos $\text{ABCD}$ satisfacen la condición de divisibilidad: $$1111 | (\text{ABCD} + \text{AB} \times \text{CD}).$$ Determine el valor posible más pequeño de $n$ .

Alphonse y Beryl juegan un juego que involucra $n$ cajas fuertes. Cada caja fuerte se puede abrir con una llave única y cada llave abre una caja fuerte única. Beryl mezcla aleatoriamente las $n$ llaves, y después de colocar una llave dentro de cada caja fuerte, cierra todas las cajas fuertes con su llave maestra. Alphonse entonces selecciona $m$ de las cajas fuertes (donde $m < n$ ), y Beryl usa su llave maestra para abrir solo las cajas fuertes que Alphonse seleccionó. Alphonse recoge todas las llaves dentro de estas $m$ cajas fuertes e intenta usar estas llaves para abrir las otras $n - m$ cajas fuertes. Si puede abrir una caja fuerte con una de las $m$ llaves, puede usar la llave en esa caja fuerte para intentar abrir cualquiera de las cajas fuertes restantes, repitiendo el proceso hasta que Alphonse abra con éxito todas las cajas fuertes, o no pueda abrir más. Sea $P_m(n)$ la probabilidad de que Alphonse pueda eventualmente abrir todas las $n$ cajas fuertes comenzando con su selección inicial de $m$ llaves.\n(a) Demuestre que $P_2(3) = \frac23$ .\n(b) Demuestre que $P_1(n) = \frac1n$ .\n(c) Para todos los enteros $n \geq 2$ , demuestre que $$P_2(n) = \frac2n \cdot P_1(n-1) + \frac{n-2}{n} \cdot P_2(n-1).$$ \n(d) Determine una fórmula para $P_2 (n)$ .

Sea $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}^+$ una función, y defina $h : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}^+$ por $h(x, y) = \gcd (f(x), f(y))$ . Si $h(x, y)$ es un polinomio de dos variables en $x$ e $y$ , demuestre que debe ser constante.

Los lados de un triángulo equilátero $ABC$ se dividen en $n$ partes iguales $(n \geq 2)$. Para cada punto en un lado, dibujamos las líneas paralelas a otros lados del triángulo $ABC$, por ejemplo, para $n=3$ tenemos el siguiente diagrama: [asy]\nunitsize(150);\ndefaultpen(linewidth(0.7));\nint n = 3; /* # of vertical lines, including AB */\npair A = (0,0), B = dir(-30), C = dir(30);\ndraw(A--B--C--cycle,linewidth(2)); dot(A,UnFill(0)); dot(B,UnFill(0)); dot(C,UnFill(0));\nlabel('$A$',A,W); label('$C$',C,NE); label('$B$',B,SE);\nfor(int i = 1; i < n; ++i) {\ndraw((i*A+(n-i)*B)/n--(i*A+(n-i)*C)/n);\ndraw((i*B+(n-i)*A)/n--(i*B+(n-i)*C)/n);\ndraw((i*C+(n-i)*A)/n--(i*C+(n-i)*B)/n);\n}\n[/asy] Para cada $n \geq 2$, encuentra el número de paralelogramos existentes.

¿Se pueden elegir diez números distintos $a_1, a_2, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, d_1, d_2, d_3$ de $\{0, 1, 2, \ldots, 14\}$, de modo que las $14$ diferencias $|a_1 - b_1|$, $|a_1 - b_2|$, $|a_1 - b_3|$, $|a_2 - b_1|$, $|a_2 - b_2|$, $|a_2 - b_3|$, $|c_1 - d_1|$, $|c_1 - d_2|$, $|c_1 - d_3|$, $|c_2 - d_1|$, $|c_2 - d_2|$, $|c_2 - d_3|$, $|a_1 - c_1|$ y $|a_2 - c_2|$ sean todas distintas?

Sea $C$ un círculo y $P$ un punto dado en el plano. Cada línea a través de $P$ que intersecta $C$ determina una cuerda de $C$. Demostrar que los puntos medios de estas cuerdas se encuentran en un círculo.