Sea $n$ un entero positivo fijo. Encuentra la suma de todos los enteros positivos con la propiedad de que en base $2$ cada uno tiene exactamente $2n$ dígitos, consistiendo de $n$ 1's y $n$ 0's. (El primer dígito no puede ser $0$.)

Demostrar que la ecuación $x^2+y^5=z^3$ tiene infinitas soluciones en enteros $x, y,z$ para los cuales $xyz \neq 0$.

Suponga que los números reales $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ satisfacen\n\begin{eqnarray*}\n0 \leq a_{100} \leq a_{99} \leq \cdots \leq a_2 &\leq& a_1 ,\n\\\na_1+a_2 & \leq & 100\n\\\na_3+a_4+\cdots+a_{100} &\leq & 100.\n\end{eqnarray*}\nDetermine el valor máximo posible de $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{100}^2$ , y encuentre todas las posibles secuencias $a_1, a_2, \ldots , a_{100}$ que alcanzan este máximo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle CBD = 2 \angle ADB$ , $\angle ABD = 2 \angle CDB$ y $AB = CB$ . Pruebe que $AD = CD$.

Sea $A = (a_1, a_2, \cdots ,a_{2000})$ una secuencia de enteros, cada uno dentro del intervalo $[-1000,1000]$. Suponga que las entradas en A suman $1$. Demuestre que alguna subsecuencia no vacía de $A$ suma cero.

Una permutación de los enteros $1901, 1902, \cdots, 2000$ es una secuencia $a_1, a_2, \cdots, a_{100}$ en la que cada uno de esos enteros aparece exactamente una vez. Dada tal permutación, formamos la secuencia de sumas parciales\n\[s_1 = a_1,\;\;s_2 = a_1 + a_2,\;\;s_3 = a_1 + a_2 + a_3, \; \ldots\;, \; s_{100} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{100}.\]\n¿Cuántas de estas permutaciones no tendrán términos de la secuencia $s_1, \ldots, s_{100}$ divisibles por tres?

A las 12:00 del mediodía, Anne, Beth y Carmen comienzan a correr vueltas alrededor de una pista circular de 300 metros de longitud, todas comenzando desde el mismo punto de la pista. Cada corredor mantiene una velocidad constante en una de las dos direcciones posibles por un período indefinido de tiempo. Demuestre que si la velocidad de Anne es diferente de las otras dos velocidades, entonces en algún momento posterior Anne estará al menos a 100 metros de cada uno de los otros corredores. (Aquí, la distancia se mide a lo largo del arco más corto que separa a dos corredores.)

Sea $k$ un entero positivo par dado. Sarah primero escoge un entero positivo $N$ mayor que $1$ y procede a alterarlo de la siguiente manera: cada minuto, ella elige un divisor primo $p$ del valor actual de $N$, y multiplica el $N$ actual por $p^k -p^{-1}$ para producir el siguiente valor de $N$. Demuestre que hay infinitos enteros positivos pares $k$ tales que, sin importar las elecciones que Sarah haga, su número $N$ en algún momento será divisible por $2018$.

Encuentre todos los polinomios $p(x)$ con coeficientes reales que tienen la siguiente propiedad: existe un polinomio $q(x)$ con coeficientes reales tal que $$p(1) + p(2) + p(3) +\dots + p(n) = p(n)q(n)$$ para todos los enteros positivos $n$.

Dos enteros positivos $a$ y $b$ son primos relacionados si $a = pb$ o $b = pa$ para algún primo $p$. Encuentre todos los enteros positivos $n$, tales que $n$ tiene al menos tres divisores, y todos los divisores pueden ser dispuestos sin repetición en un círculo de modo que dos divisores adyacentes sean primos relacionados. Note que $1$ y $n$ están incluidos como divisores.