Sean cinco puntos en un círculo etiquetados $A, B, C, D$ y $E$ en el sentido de las agujas del reloj. Asuma que $AE = DE$ y sea $P$ la intersección de $AC$ y $BD$. Sea $Q$ el punto en la línea que pasa por $A$ y $B$ tal que $A$ está entre $B$ y $Q$ y $AQ = DP$. Similarmente, sea $R$ el punto en la línea que pasa por $C$ y $D$ tal que $D$ está entre $C$ y $R$ y $DR = AP$. Demuestre que $PE$ es perpendicular a $QR$.

Considere una disposición de fichas en el plano, no necesariamente en puntos distintos. Se nos permite aplicar una secuencia de movimientos del siguiente tipo: seleccionar un par de fichas en los puntos $A$ y $B$ y mover ambas al punto medio de $A$ y $B$. Decimos que una disposición de $n$ fichas es colapsable si es posible terminar con las $n$ fichas en el mismo punto después de un número finito de movimientos. Demuestre que toda disposición de $n$ fichas es colapsable si y sólo si $n$ es una potencia de $2$.

Se da una secuencia de $X$ s y $O$ s, de tal manera que no hay tres caracteres consecutivos en la secuencia que sean todos iguales, y sea $N$ el número de caracteres en esta secuencia. Maia puede intercambiar dos caracteres consecutivos en la secuencia. Después de cada intercambio, cualquier bloque consecutivo de tres o más del mismo carácter se borrará (si hay múltiples bloques consecutivos de tres o más caracteres después de un intercambio, entonces se borrarán al mismo tiempo), hasta que no haya más bloques consecutivos de tres o más del mismo carácter. Por ejemplo, si la secuencia original fuera $XXOOXOXO$ y Maia intercambia el quinto y sexto carácter, el resultado final será $$XXOOOXXO \to XXXXO \to O.$$ Encuentra el valor máximo $N$ para el cual Maia no necesariamente puede borrar todos los caracteres después de una serie de intercambios. Se otorgará crédito parcial por pruebas correctas de límites inferiores y superiores en $N$.

En el triángulo $ABC$, sea $I$ el incentro, $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro. Se da que $IO = IH$. Demuestra que uno de los ángulos del triángulo $ABC$ debe ser igual a $60$ grados.

En el triángulo $ABC$, sea $I$ el incentro. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $BIC$. Demuestra que $AH$ es paralelo a $BC$ si y solo si $H$ se encuentra en el círculo con diámetro $AI$.

Para ciertas constantes reales $p, q, r$, se nos da un sistema de ecuaciones $$\begin{cases} a^2 + b + c = p \\ a + b^2 + c = q \\ a + b + c^2 = r \end{cases}$$ ¿Cuál es el número máximo de soluciones de trío reales $(a, b, c)$ en todos los posibles $p, q, r$? Da un ejemplo de los $p$, $q$, $r$ que logran este máximo.

Sea $S$ el conjunto de $25$ puntos $(x, y)$ con $0\le x, y \le 4$. Se elige al azar un triángulo cuyos tres vértices están en $S$. ¿Cuál es el valor esperado del cuadrado de su área?

Se da una secuencia $\{a_i\}$ tal que $a_1 = \frac13$ y para todos los enteros positivos $n$ $$a_{n+1} =\frac{a^2_n}{a^2_n - a_n + 1}.$$ Demuestra que $$\frac12 - \frac{1}{3^{2^{n-1}}} < a_1 + a_2 +... + a_n <\frac12 - \frac{1}{3^{2^n}} ,$$ para todos los enteros positivos $n$.

Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$. Sea $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio del arco $BAC$ en la circunferencia circunscrita. Se da que $B$, $H$, $M$ son colineales, la longitud de la altitud desde $M$ hasta $AB$ es $1$, y la longitud de la altitud desde $M$ hasta $BC$ es $6$. Determine todas las áreas posibles para $\vartriangle ABC$.

Llama a un número natural $N$ bueno si su expansión en base $3$ no tiene dígitos consecutivos que sean iguales. Por ejemplo, $289$ es bueno ya que su representación en base $3$ es $1012013$. Encuentra el $2024$-ésimo número bueno más pequeño ( $0$ no se considera un número natural). Tu respuesta debe estar en base $10$.