Encuentra todas las funciones $f : R \to R$ que satisfacen la ecuación funcional $$f(x + f(xy)) = f(x)(1 + y).$$

Suponga que los círculos $\mathit{W}_1$ y $\mathit{W}2$ , con centros $\mathit{O}_1$ y $\mathit{O}_2$ respectivamente, se intersectan en los puntos $\mathit{M}$ y $\mathit{N}$ . Sea la tangente en $\mathit{W}_2$ en el punto $\mathit{N}$ intersectar a $\mathit{W}_1$ por segunda vez en $\mathit{B}_1$ . Similarmente, sea la tangente en $\mathit{W}_1$ en el punto $\mathit{N}$ intersectar a $\mathit{W}_2$ por segunda vez en $\mathit{B}_2$ . Sea $\mathit{A}_1$ un punto en $\mathit{W}_1$ que está en el arco $\mathit{B}_1\mathit{N}$ que no contiene a $\mathit{M}$ y suponga que la línea $\mathit{A}_1\mathit{N}$ intersecta a $\mathit{W}_2$ en el punto $\mathit{A}_2$ . Denote los incentros de los triángulos $\mathit{B}_1\mathit{A}_1\mathit{N}$ y $\mathit{B}_2\mathit{A}_2\mathit{N}$ por $\mathit{I}_1$ y $\mathit{I}_2$ , respectivamente. Muestre que $\[\angle\mathit{I}_1\mathit{MI}_2=\angle\mathit{O}_1\mathit{MO}_2.\] * Dado un triángulo ABC, el incentro del triángulo se define como la intersección de las bisectrices de los ángulos A, B y C. Para evitar el desorden, el incentro se omite en el diagrama proporcionado. Tenga en cuenta también que el diagrama sirve solo como una ayuda y no necesariamente está dibujado a escala.

Seis jugadores de tenis se reúnen para jugar en un torneo donde cada par de personas juega un partido, con una persona declarada ganadora y la otra persona perdedora. Se dice que un trío de tres jugadores $\{\mathit{A}, \mathit{B}, \mathit{C}\}$ es cíclico si $\mathit{A}$ gana contra $\mathit{B}$ , $\mathit{B}$ gana contra $\mathit{C}$ y $\mathit{C}$ gana contra $\mathit{A}$ . (a) Después del torneo, las seis personas deben separarse en dos habitaciones de tal manera que ninguna de las dos habitaciones contenga un trío cíclico. Demuestre que esto siempre es posible. (b) Suponga que en cambio hay siete personas en el torneo. ¿Es siempre posible que las siete personas puedan separarse en dos habitaciones de tal manera que ninguna de las dos habitaciones contenga un trío cíclico?

Determine si existen dos números reales $a$ y $b$ tales que tanto $(x-a)^3+ (x-b)^2+x$ como $(x-b)^3 + (x-a)^2 +x$ contengan solo raíces reales.

Dado un entero positivo $n$ , sea $d(n)$ el divisor positivo más grande de $n$ menor que $n$ . Por ejemplo, $d(8) = 4$ y $d(13) = 1$ . Una secuencia de enteros positivos $a_1, a_2,\dots$ satisface \n\[a_{i+1} = a_i +d(a_i),\] para todos los enteros positivos $i$ . Demuestre que independientemente de la elección de $a_1$ , hay infinitos términos en la secuencia divisibles por $3^{2011}$ .

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC = 90^\circ$ y $AB < AC$ . Dividimos el interior del triángulo en las siguientes seis regiones: \n\begin{align*}\nS_1=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PA<PB<PC \\ \nS_2=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PA<PC<PB \\ \nS_3=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PB<PA<PC \\\nS_4=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PB<PC<PA \\\nS_5=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PC<PA<PB \\\nS_6=\text{conjunto de todos los puntos }\mathit{P}\text{ dentro de }\triangle ABC\text{ tales que }PC<PB<PA\end{align*} \nSuponga que la razón del área de la región más grande al área de la región no vacía más pequeña es $49 : 1$ . Determine la razón $AC : AB$ .

Decimos que $(a,b,c)$ forman un trío fantástico si $a,b,c$ son enteros positivos, $a,b,c$ forman una progresión geométrica, y $a,b+1,c$ forman una progresión aritmética. Por ejemplo, $(2,4,8)$ y $(8,12,18)$ son tríos fantásticos. Demuestre que existen infinitos tríos fantásticos.

Dado un entero positivo $m$ , sea $d(m)$ el número de divisores positivos de $m$ . Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $d(n) +d(n+ 1) = 5$ .

La primera fila de un cine contiene $45$ asientos. (a) Si $42$ personas están sentadas en la primera fila, demuestre que hay $10$ asientos consecutivos que están todos ocupados. (b) Demuestre que esta conclusión no necesariamente se cumple si solo $41$ personas están sentadas en la primera fila.

Hay $100$ círculos de radio uno en el plano. Un triángulo formado por los centros de tres círculos dados tiene área como máximo $2017$ . Demuestre que hay una línea que intersecta al menos tres de los círculos.