Olimpiada Nacional Canadiense 2017 Problema 4
Sea $ABCD$ un paralelogramo. Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran dentro de $ABCD$ tal que $\bigtriangleup ABP$ y $\bigtriangleup{BCQ}$ son equiláteros. Demuestre que la intersección de la línea que pasa por $P$ perpendicular a $PD$ y la línea que pasa por $Q$ perpendicular a $DQ$ se encuentra en la altura desde $B$ en $\bigtriangleup{ABC}$ .
3
0
Olimpiada Nacional Canadiense 2017 Problema 3
Defina $S_n$ como el conjunto ${1,2,\cdots,n}$ . Un subconjunto no vacío $T_n$ de $S_n$ se llama $balanceado$ si el promedio de los elementos de $T_n$ es igual a la mediana de $T_n$ . Demuestre que, para toda $n$ , el número de subconjuntos balanceados $T_n$ es impar.
3
0
Olimpiada Nacional Canadiense 2017 Problema 2
Defina una función $f(n)$ de los enteros positivos a los enteros positivos tal que $f(f(n))$ es el número de divisores enteros positivos de $n$ . Demuestre que si $p$ es un primo, entonces $f(p)$ es primo.
3
0
Olimpiada Nacional Canadiense 2017 Problema 1
Para reales no negativos distintos por pares $a,b,c$ , demuestre que $$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(b-a)^2}>2$$ .
3
0
Olimpiada Nacional de Canadá 1987 Problema 5
Para cada entero positivo $n$ demuestre que \[[\sqrt{4n + 1}] = [\sqrt{4n + 2}] = [\sqrt{4n + 3}] = [\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}]\] donde $[x]$ es el mayor entero menor o igual que $x$ (por ejemplo $[2.3] = 2$ , $[\pi] = 3$ , $[5] = 5$ ) .
4
0
Olimpiada Nacional de Canadá 1987 Problema 4
En un campo grande y plano, $n$ personas están posicionadas de manera que para cada persona las distancias a todas las demás personas son diferentes. Cada persona sostiene una pistola de agua y, a una señal dada, dispara y golpea a la persona que está más cerca. Cuando $n$ es impar, demuestre que hay al menos una persona que se queda seca. ¿Es esto siempre cierto cuando $n$ es par?
4
0
Olimpiada Nacional de Canadá 1987 Problema 3
Suponga que $ABCD$ es un paralelogramo y $E$ es un punto entre $B$ y $C$ en la línea $BC$ . Si los triángulos $DEC$ , $BED$ y $BAD$ son isósceles, ¿cuáles son los valores posibles para el ángulo $DAB$ ?
4
0
Olimpiada Nacional de Canadá 1987 Problema 2
El número 1987 se puede escribir como un número de tres dígitos $xyz$ en alguna base $b$ . Si $x + y + z = 1 + 9 + 8 + 7$ , determine todos los valores posibles de $x$ , $y$ , $z$ , $b$ .
4
0
Olimpiada Nacional de Canadá 1987 Problema 1
Encuentra todas las soluciones de $a^2 + b^2 = n!$ para enteros positivos $a$ , $b$ , $n$ con $a \le b$ y $n < 14$ .
4
0
Olimpiada Canadiense de Matemáticas 2020 Problema 8
Encontrar todos los pares $(a, b)$ de números racionales positivos tales que $\sqrt[b]{a}= ab$
5
0