Sean $a, b, c$ números reales positivos con $ab + bc + ac = abc$ . Probar que $$\frac{bc}{a^{a+1}} +\frac{ac}{b^{b+1 }}+\frac{ab}{c^{c+1}} \ge \frac13$$

En el pentágono convexo $ABCDE, AC$ es paralelo a $DE, AB$ es perpendicular a $AE$ , y $BC$ es perpendicular a $CD$ . Si $H$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ y $M$ es el punto medio del segmento $DE$ , probar que $AD, CE$ y $HM$ son concurrentes.

Definimos las siguientes secuencias: \n• Secuencia $A$ tiene $a_n = n$ . \n• Secuencia $B$ tiene $b_n = a_n$ cuando $a_n \not\equiv 0$ (mod 3) y $b_n = 0$ en caso contrario. \n• Secuencia $C$ tiene $c_n =\sum_{i=1}^{n} b_i$ . \n• Secuencia $D$ tiene $d_n = c_n$ cuando $c_n \not\equiv 0$ (mod 3) y $d_n = 0$ en caso contrario. \n• Secuencia $E$ tiene $e_n =\sum_{i=1}^{n}d_i$ \nProbar que los términos de la secuencia E son exactamente los cubos perfectos.

Dado un conjunto $S$ de enteros, una partición óptima de $S$ en conjuntos $T, U$ es una partición que minimiza el valor $|t - u|$ , donde $t$ y $u$ son la suma de los elementos de $T$ y $U$ respectivamente. Sea $P$ un conjunto de enteros positivos distintos tal que la suma de los elementos de $P$ es $2k$ para un entero positivo $k$ , y ningún subconjunto de $P$ suma a $k$ . Demostrar que existe tal $P$ con al menos $2020$ particiones óptimas diferentes, o demostrar que tal $P$ no existe.

Determinar todos los grafos $G$ con las siguientes dos propiedades: \n$\bullet$ G contiene al menos un camino Hamiltoniano. \n$\bullet$ Para cualquier par de vértices, $u, v \in G$ , si hay un camino Hamiltoniano de $u$ a $v$ entonces la arista $uv$ está en el grafo $G$

Sea $N$ un entero positivo y $A = a_1, a_2, ... , a_N$ una secuencia de números reales. Definimos la secuencia $f(A)$ como $$f(A) = \left( \frac{a_1 + a_2}{2},\frac{a_2 + a_3}{2}, ...,\frac{a_{N-1} + a_N}{2},\frac{a_N + a_1}{2}\right)$$ y para $k$ un entero positivo definimos $f^k (A)$ como $f$ aplicada a $A$ consecutivamente $k$ veces (i.e. $f(f(... f(A)))$ ) Encontrar todas las secuencias $A = (a_1, a_2,..., a_N)$ de enteros tales que $f^k (A)$ contiene solo enteros para todo $k$ .

La función $f : \mathbb N \to \mathbb R$ satisface $f(1) = 1, f(2) = 2$ y \[f (n+2) = f(n+2 - f(n+1) ) + f(n+1 - f(n) ).\] Demuestre que $0 \leq f(n+1) - f(n) \leq 1$ . Encuentre todos los $n$ para los cuales $f(n) = 1025$ .

Demostrar que para todos los enteros $a \ge 1$ , $ \lfloor \sqrt{a}+\sqrt{a+1}+\sqrt{a+2}\rfloor = \lfloor \sqrt{9a+8}\rfloor$

Los pies de las perpendiculares desde el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero cíclico convexo a los lados forman un cuadrilátero $q$ . Demuestre que la suma de las longitudes de cada par de lados opuestos de $q$ es igual.

$\frac{n(n + 1)}{2}$ números distintos se organizan al azar en $n$ filas. La primera fila tiene $1$ número, la segunda tiene $2$ números, la tercera tiene $3$ números y así sucesivamente. Encuentre la probabilidad de que el número más grande en cada fila sea más pequeño que el número más grande en cada fila con más números.