Una partícula puede viajar a velocidades de hasta $ \frac{2m}{s}$ a lo largo del eje $ x$, y hasta $ \frac{1m}{s}$ en cualquier otro lugar del plano. Proporcione un boceto etiquetado de la región a la que se puede llegar en un segundo desde la partícula que comienza en el origen.

Una competición que involucra a $n\ge 2$ jugadores se llevó a cabo durante $k$ días. En cada día, los jugadores recibieron puntajes de $1,2,3,\ldots , n$ puntos sin que ningún jugador recibiera el mismo puntaje. Al final de los $k$ días, se encontró que cada jugador tenía exactamente $26$ puntos en total. Determine todos los pares $(n,k)$ para los cuales esto es posible.

Inicialmente, tres puntos no colineales, $A$ , $B$ y $C$ , están marcados en el plano. Tiene un lápiz y una regla de doble filo de ancho $1$ . Usándolos, puede realizar las siguientes operaciones:\nMarcar un punto arbitrario en el plano.\nMarcar un punto arbitrario en una línea ya dibujada.\nSi dos puntos $P_1$ y $P_2$ están marcados, dibujar la línea que conecta $P_1$ y $P_2$ .\nSi se dibujan dos líneas no paralelas $l_1$ y $l_2$ , marcar la intersección de $l_1$ y $l_2$ .\nSi se dibuja una línea $l$ , dibujar una línea paralela a $l$ que esté a una distancia de $1$ de $l$ (tenga en cuenta que se pueden dibujar dos de esas líneas).\nDemuestra que es posible marcar el ortocentro de $ABC$ usando estas operaciones.

Un tesoro fue enterrado en una sola celda de una cuadrícula de $M\times N$ ( $2\le M$ , $N$ ). Se trajeron detectores para encontrar la celda con el tesoro. Para cada detector, puede configurarlo para escanear una subcuadrícula específica $[a,b]\times[c,d]$ con $1\le a\le b\le M$ y $1\le c\le d\le N$ . Al ejecutar el detector, se le indicará si el tesoro está en la región o no, aunque no puede decir dónde se detectó el tesoro en la región. Planea configurar $Q$ detectores, que solo pueden ejecutarse simultáneamente después de que todos los $Q$ detectores estén listos. En términos de $M$ y $N$ , ¿cuál es el $Q$ mínimo requerido para garantizar la determinación de la ubicación del tesoro?

Sea $N{}$ el número de enteros positivos con $10$ dígitos $\overline{d_9d_8\cdots d_0}$ en base $10$ (donde $0\le d_i\le9$ para todo $i$ y $d_9>0$ ) tal que el polinomio \[d_9x^9+d_8x^8+\cdots+d_1x+d_0\] es irreducible en $\Bbb Q$ . Demuestra que $N$ es par. (Un polinomio es irreducible en $\Bbb Q$ si no se puede factorizar en dos polinomios no constantes con coeficientes racionales.)

Jane escribe $2024$ números naturales alrededor del perímetro de un círculo. Quiere que los $2024$ productos de pares de números adyacentes sean exactamente el conjunto $\{ 1!, 2!, \ldots, 2024! \}.$ ¿Puede lograr esto?

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Suponga que la reflexión de $AB$ a través de $CI$ y la reflexión de $AC$ a través de $BI$ se intersecan en un punto $X$. Demuestra que $XI$ es perpendicular a $BC$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que los cinco vértices se encuentran en un círculo y los cinco lados son tangentes a otro círculo dentro del pentágono. Hay ${5 \choose 3}= 10$ triángulos que se pueden formar eligiendo $3$ de los $5$ vértices. Para cada uno de estos $10$ triángulos, marque su incentro. Demuestre que estos $10$ incentros se encuentran en dos círculos concéntricos.

Sea $n$ un entero positivo. Un conjunto de n líneas distintas divide el plano en varias regiones (posiblemente no acotadas). El conjunto de líneas se llama 'agradable' si no hay tres líneas que se crucen en un solo punto. Un 'coloreado' es una asignación de dos colores a cada región tal que el primer color es del conjunto $\{A_1, A_2\}$ , y el segundo color es del conjunto $\{B_1, B_2, B_3\}$ . Dado un conjunto agradable de líneas, lo llamamos 'coloreable' si existe una coloración tal que (a) ningún color se asigna a dos regiones que comparten un borde; (b) para cada $i \in \{1, 2\}$ y $j \in \{1, 2, 3\}$ hay al menos una región a la que se le asignan tanto $A_i$ como $B_j$ . Determine todos los $n$ tales que cada configuración agradable de $n$ líneas sea coloreable.

Vishal comienza con $n$ copias del número $1$ escrito en el tablero. Cada minuto, toma dos números $a, b$ y los reemplaza con $a+b$ o $\min(a^2, b^2)$ . Después de $n-1$ hay $1$ número en el tablero. Sea el valor máximo posible de este número $f(n)$ . Demuestre $2^{n/3}<f(n)\leq 3^{n/3}$ .