Sea $d(k)$ denote el número de divisores enteros positivos de $k$ . Por ejemplo, $d(6) = 4$ ya que $6$ tiene $4$ divisores positivos, a saber, $1, 2, 3$ y $6$ . Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ , $$d(1) + d(3) + d(5) +...+ d(2n - 1)\le d(2) + d(4) + d(6) + ... + d(2n).$$

Asuma que los números reales $a$ y $b$ satisfacen $$ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{a^2+b}\sqrt{a+b^2}=0.$$ Encuentre, con prueba, el valor de $$b\sqrt{a^2+b}+a\sqrt{b^2+a}.$$

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea el punto $P$ en el lado $AB$ tal que $\angle BOP = \angle ABC$ , y sea el punto $Q$ en el lado $AC$ tal que $\angle COQ = \angle ACB$ . Demuestre que la reflexión de $BC$ en la línea $PQ$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $APQ$ .

Sea $n$ un entero positivo. Para cualquier entero positivo $j$ y número real positivo $r$ , defina $f_j(r)$ y $g_j(r)$ por \[f_j(r) = \min (jr, n) + \min\left(\frac{j}{r}, n\right), \text{ y } g_j(r) = \min (\lceil jr\rceil, n) + \min \left(\left\lceil\frac{j}{r}\right\rceil, n\right),\] donde $\lceil x\rceil$ denota el entero más pequeño mayor o igual que $x$ . Demuestre que \[\sum_{j=1}^n f_j(r)\leq n^2+n\leq \sum_{j=1}^n g_j(r)\] para todos los números reales positivos $r$ .

Sea $G$ el centroide de un triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle BCA = 90^\circ$ . Sea $P$ el punto en el rayo $AG$ tal que $\angle CPA = \angle CAB$ , y sea $Q$ el punto en el rayo $BG$ tal que $\angle CQB = \angle ABC$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AQG$ y $BPG$ se intersecan en un punto en el lado $AB$ .

La secuencia $a_1, a_2, \dots, a_n$ consiste en los números $1, 2, \dots, n$ en algún orden. ¿Para qué enteros positivos $n$ es posible que los $n+1$ números $0, a_1, a_1+a_2, a_1+a_2+a_3,\dots, a_1 + a_2 +\cdots + a_n$ tengan todos diferentes restos cuando se dividen por $n + 1$?

Determine todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que \[(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)\] sea un polinomio constante.

Sea $n \geq 3$ un entero positivo. Un tablero $n$ con una esquina removida es un tablero de ajedrez de $2 \times n$ con el cuadrado inferior izquierdo removido. Lino quiere embaldosar un tablero $n$ con una esquina removida y se le permite usar los siguientes tipos de baldosas:\nTipo 1: cualquier tablero de $1 \times k$ donde $1 \leq k \leq n$\nTipo 2: cualquier tablero $k$ con una esquina removida donde $1 \leq k \leq n$ que debe cubrir la baldosa más a la izquierda del tablero de ajedrez de $2 \times n$.\nDos embaldosados $T_1$ y $T_2$ se consideran iguales si hay un conjunto de baldosas consecutivas de Tipo 1 en ambas filas de $T_1$ que se pueden intercambiar verticalmente para obtener el embaldosado $T_2$. Por ejemplo, los siguientes tres embaldosados de un tablero $7$ con una esquina removida son iguales: http://i.imgur.com/8QaSgc0.png\nPara cualquier entero positivo $n$ y cualquier entero positivo $1 \leq m \leq 2n - 1$, sea $c_{m,n}$ el número de embaldosados distintos de un tablero $n$ con una esquina removida usando exactamente $m$ baldosas (se puede usar cualquier combinación de tipos de baldosas), y defina el polinomio $$P_n(x) = \sum^{2n-1}_{m=1} c_{m,n}x^m.$$ Encuentre, con justificación, polinomios $f(x)$ y $g(x)$ tales que $$P_n(x) = f(x)P_{n-1}(x) + g(x)P_{n-2}(x)$$ para todo $n \geq 3$.

Comenzando en $(0, 0)$, Richard da $2n+1$ pasos, con cada paso siendo una unidad ya sea al Este, Norte, Oeste o Sur. Para cada paso, la dirección se elige uniformemente al azar entre las cuatro posibilidades. Determine la probabilidad de que Richard termine en $(1, 0)$.

Determine todas las ternas ordenadas de enteros positivos $(x, y, z)$ tales que $\gcd(x+y, y+z, z+x) > \gcd(x, y, z)$.