Considere un polígono convexo $P$ con $n$ lados y perímetro $P_0$. Sea el polígono $Q$, cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $P$, tiene perímetro $P_1$. Demuestre que $P_1 \geq \frac{P_0}{2}$.

Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(x + f(y)) + f(x - f(y)) = x.$$

Dado un cubo de rejilla de $n \times n \times n$ de cubos unitarios, un cubo es bueno si es un subcubo de la rejilla y tiene una longitud lateral de al menos dos. Si un cubo bueno contiene otro cubo bueno y sus caras no se intersectan, se dice que el primer cubo bueno contiene apropiadamente al segundo. ¿Cuál es el tamaño del conjunto más grande posible de cubos buenos de modo que ningún cubo en el conjunto contenga apropiadamente a otro cubo en el conjunto?

Sean $P = (7, 1)$ y $O = (0, 0)$.\n(a) Si $S$ es un punto en la línea $y = x$ y $T$ es un punto en el eje $x$ horizontal de modo que $P$ está en el segmento de línea $ST$, determine el área mínima posible del triángulo $OST$.\n(b) Si $U$ es un punto en la línea $y = x$ y $V$ es un punto en el eje $x$ horizontal de modo que $P$ está en el segmento de línea $UV$, determine el perímetro mínimo posible del triángulo $OUV$.

(a) Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $11|(3^n + 4^n)$.\n(b) Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $31|(4^n + 7^n + 20^n)$.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ y $BE$ que se cruzan en $H$. Sea $M$ el punto medio del segmento $AB$, y suponga que las circunferencias circunscritas de $\triangle DEM$ y $\triangle ABH$ se cruzan en los puntos $P$ y $Q$ con $P$ en el mismo lado de $CH$ que $A$. Demuestre que las líneas $ED, PH,$ y $MQ$ todas pasan por un solo punto en la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$.

Sean $A, B$ y $F$ enteros positivos, y asuma que $A < B < 2A$. Una pulga está en el número $0$ en la recta numérica. La pulga puede moverse saltando a la derecha por $A$ o por $B$. Antes de que la pulga comience a saltar, Lavaman elige finitamente muchos intervalos ${m+1, m+2, \ldots, m+A}$ que constan de $A$ enteros positivos consecutivos, y coloca lava en todos los enteros en los intervalos. Los intervalos deben ser elegidos de modo que: \n( i ) dos intervalos distintos cualesquiera sean disjuntos y no adyacentes; \n( ii ) haya al menos $F$ enteros positivos sin lava entre dos intervalos cualesquiera; y \n( iii ) no se coloque lava en ningún entero menor que $F$. Demuestre que el $F$ más pequeño para el cual la pulga puede saltar sobre todos los intervalos y evitar toda la lava, independientemente de lo que haga Lavaman, es $F = (n-1)A + B$, donde $n$ es el entero positivo tal que $\frac{A}{n+1} \le B-A < \frac{A}{n}$.

Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(P(n) + n)$ es un número primo para infinitos enteros $n$.

Considera el siguiente sistema de $10$ ecuaciones en $10$ variables reales $v_1, \ldots, v_{10}$ : \[v_i = 1 + \frac{6v_i^2}{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_{10}^2} \qquad (i = 1, \ldots, 10).\] Encuentra todas las $10$ - tuplas $(v_1, v_2, \ldots , v_{10})$ que son soluciones de este sistema.

Los enteros $1, 2, 3, \ldots, 2016$ están escritos en una pizarra. Puedes elegir dos números cualesquiera en la pizarra y reemplazarlos con su promedio. Por ejemplo, puedes reemplazar $1$ y $2$ con $1.5$, o puedes reemplazar $1$ y $3$ con una segunda copia de $2$. Después de $2015$ reemplazos de este tipo, la pizarra tendrá solo un número. \n(a) Demuestra que existe una secuencia de reemplazos que hará que el número final sea igual a $2$. \n(b) Demuestra que existe una secuencia de reemplazos que hará que el número final sea igual a $1000$.