Sea $d$ un entero positivo. Demuestre que para cada entero $S$, existe un entero $n>0$ y una secuencia de $n$ enteros $\epsilon_1, \epsilon_2,..., \epsilon_n$, donde $\epsilon_i = \pm 1$ (no necesariamente dependiente uno del otro) para todos los enteros $1\le i\le n$, tal que $S=\sum_{i=1}^{n}{\epsilon_i(1+id)^2}$.

Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todos los enteros $a>N$, existe una subcadena contigua de la expansión decimal de $a$, que es divisible por $2011$. Nota. Una subcadena contigua de un entero $a$ es un entero con una expansión decimal equivalente a una secuencia de dígitos consecutivos tomados de la expansión decimal de $a$.

Amy ha dividido un cuadrado en un número finito de rectángulos blancos y rojos, cada uno con lados paralelos a los lados del cuadrado. Dentro de cada rectángulo blanco, ella escribe su ancho dividido por su altura. Dentro de cada rectángulo rojo, ella escribe su altura dividida por su ancho. Finalmente, ella calcula $x$, la suma de estos números. Si el área total de blanco es igual al área total de rojo, determine el mínimo de $x$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con lados opuestos no paralelos. Sean $X$ e $Y$ las intersecciones de $AB,CD$ y $AD,BC$ respectivamente. Sea la bisectriz del ángulo $\angle AXD$ que interseca a $AD,BC$ en $E,F$ respectivamente, y sean las bisectrices del ángulo $\angle AYB$ que intersecan a $AB,CD$ en $G,H$ respectivamente. Pruebe que $EFGH$ es un paralelogramo.

Considere números de 70 dígitos con la propiedad de que cada uno de los dígitos $1,2,3,...,7$ aparece 10 veces en la expansión decimal de $n$ (y $8,9,0$ no aparecen). Demuestre que ningún número de esta forma puede dividir a otro número de esta forma.

Sea $N$ el número de enteros positivos con $10$ dígitos $\overline{d_9d_8\cdots d_0}$ en base $10$ (donde $0\le d_i\le9$ para todo $i$ y $d_9>0$ ) tal que el polinomio \[d_9x^9+d_8x^8+\cdots+d_1x+d_0\] es irreducible en $\Bbb Q$ . Demuestra que $N$ es par. (Un polinomio es irreducible en $\Bbb Q$ si no se puede factorizar en dos polinomios no constantes con coeficientes racionales.)

Jane escribe $2024$ números naturales alrededor del perímetro de un círculo. Ella quiere que los $2024$ productos de pares adyacentes de números sean exactamente el conjunto $\{ 1!, 2!, \ldots, 2024! \}.$ ¿Puede lograr esto?

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Suponga que la reflexión de $AB$ a través de $CI$ y la reflexión de $AC$ a través de $BI$ se intersecan en un punto $X$ . Demuestra que $XI$ es perpendicular a $BC$ .

Sea $I_n=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n \min \left( \frac{1}{i}, \frac{1}{j}, \frac{1}{k} \right)$ y sea $H_n=1+\frac{1}{2}+\ldots \frac{1}{n}$ Encuentra $I_n-H_n$ en términos de $n$

Hace siglos, el capitán pirata Blackboard enterró una gran cantidad de tesoros en una sola celda de una isla estructurada en una cuadrícula de $2 \times 4$. El tesoro fue enterrado en una sola celda de una cuadrícula de $M\times N$ ( $2\le M$ , $N$ ). Tú y tu tripulación han llegado a la isla y han traído detectores especiales de tesoros para encontrar la celda con el tesoro. Para cada detector, puedes configurarlo para escanear una subcuadrícula específica $[a,b]\times[c,d]$ con $1\le a\le b\le 2$ y $1\le c\le d\le 4$ . Al ejecutar el detector, se te dirá si el tesoro está en la región o no, aunque no puede decir en qué parte de la región se detectó el tesoro. Planeas configurar $Q$ detectores, que solo pueden ejecutarse simultáneamente después de que todos los $Q$ detectores estén listos. ¿Cuál es el mínimo $Q$ requerido para garantizar la determinación de la ubicación del legendario tesoro de Blackboard?