Los círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$ y se intersecan en $P$ y $Q$ . Una línea que pasa por $P$ interseca a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en $A$ y $B$ , respectivamente, tal que $AB$ no es perpendicular a $PQ$ . Sea $X$ el punto en $PQ$ tal que $XA=XB$ y sea $Y$ el punto dentro de $AO_1 O_2 B$ tal que $AYO_1$ y $BYO_2$ son similares. Demuestre que $2\angle{O_1 AY}=\angle{AXB}$ .

Encuentre el $C \in \mathbb{R}$ más grande tal que $\frac{x+z}{(x-z)^2} +\frac{x+w}{(x-w)^2} +\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{y+w}{(y-w)^2} + \sum_{cyc} \frac{1}{x} \ge \frac{C}{x+y+z+w}$ donde $x,y,z,w \in \mathbb{R^+}$ .

Para un entero positivo fijo $k$ , demuestre que existen infinitos primos $p$ tales que existe un entero $w$ , donde $w^2-1$ no es divisible por $p$ , y el orden de $w$ en módulo $p$ es el mismo que el orden de $w$ en módulo $p^k$ .

En el triángulo $ABC$ , $\angle{BAC}=60^\circ$ y la circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Las líneas $PC$ y $QB$ se intersecan en $G$ . Sea $R$ el circunradio de $BGC$ . Encuentra el valor mínimo de $R/BC$ .

Sean $n$ y $k$ enteros positivos con $1 \leq k \leq n$ . Un conjunto de cartas numeradas del $1$ al $n$ se colocan al azar en una fila de izquierda a derecha. Una persona alterna entre realizar los siguientes movimientos: La carta más a la izquierda de la fila se mueve $k-1$ posiciones a la derecha mientras que las cartas en las posiciones $2$ a $k$ se mueven una posición a la izquierda. La carta más a la derecha de la fila se mueve $k-1$ posiciones a la izquierda mientras que las cartas en las posiciones $n-k+1$ a $n-1$ se mueven una posición a la derecha. Determina la probabilidad de que después de algunos movimientos las cartas terminen en orden del $1$ al $n$ , de izquierda a derecha.

Sea $n$ un entero positivo, con factorización prima $$n = p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$$ para primos distintos $p_1, \ldots, p_r$ y $e_i$ enteros positivos. Define $$rad(n) = p_1p_2\cdots p_r,$$ el producto de todos los factores primos distintos de $n$ . Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes racionales tales que existan infinitos enteros positivos $n$ con $P(n) = rad(n)$ .

Sea $n \geq 2$ un entero positivo. Determina el número de $n$ - tuplas $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ tales que $x_k \in \{0, 1, 2\}$ para $1 \leq k \leq n$ y $\sum_{k = 1}^n x_k - \prod_{k = 1}^n x_k$ es divisible por $3$ .

Un palíndromo es un número que permanece igual cuando sus dígitos se invierten. Sea $n$ un producto de primos distintos no divisibles por $10$ . Demuestra que infinitos múltiplos de $n$ son palíndromos.

Construye un polígono convexo tal que cada uno de sus lados tenga la misma longitud que una de sus diagonales y cada diagonal tenga la misma longitud que uno de sus lados, o demuestra que tal polígono no existe.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = BC$ . Demuestra que $\triangle ABC$ es un triángulo obtuso si y sólo si la ecuación $$Ax^2 + Bx + C = 0$$ tiene dos raíces reales distintas, donde $A$ , $B$ , $C$ , son los ángulos en radianes.