Sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano tal que dos puntos cualesquiera de $S$ están al menos a $1$ unidad de distancia. Demuestra que existe un subconjunto $T$ de $S$ con al menos $\frac{n}{7}$ puntos tal que dos puntos cualesquiera de $T$ están al menos a $\sqrt{3}$ unidades de distancia.

Demuestra que cuando tres círculos comparten la misma cuerda $AB$, toda línea que pasa por $A$ diferente de $AB$ determina la misma razón $X Y : Y Z$, donde $X$ es un punto arbitrario diferente de $B$ en el primer círculo, mientras que $Y$ y $Z$ son los puntos donde $AX$ intersecta los otros dos círculos (etiquetados de modo que $Y$ esté entre $X$ y $Z$).

Encuentra todas las soluciones reales positivas (si las hay) para \n\begin{align*}\nx^3+y^3+z^3 &= x+y+z, \mbox{ y} \\\nx^2+y^2+z^2 &= xyz. \n\end{align*}

Encuentra los últimos tres dígitos del número $2003^{{2002}^{2001}}$.

Considera un reloj estándar de doce horas cuyas manecillas de las horas y los minutos se mueven continuamente. Sea $m$ un entero, con $1 \leq m \leq 720$. Precisamente $m$ minutos después de las 12:00, el ángulo formado por la manecilla de las horas y la de los minutos es exactamente $1^\circ$. Determina todos los valores posibles de $m$.

Hay un número finito de monedas en el monedero de David. Los valores de estas monedas son enteros positivos distintos por pares. ¿Es posible hacer tal monedero, de modo que David tenga exactamente $2020$ formas diferentes de seleccionar las monedas en su monedero y la suma de estas monedas seleccionadas sea $2020$ ?

$ABCD$ es un rombo fijo. El segmento $PQ$ es tangente al círculo inscrito de $ABCD$ , donde $P$ está en el lado $AB$ , $Q$ está en el lado $AD$ . Demuestra que, cuando el segmento $PQ$ se mueve, el área de $\Delta CPQ$ es una constante.

Hay $n \ge 3$ números reales positivos distintos. Demuestra que hay como máximo $n-2$ potencias enteras diferentes de tres que se pueden escribir como la suma de tres elementos distintos de estos $n$ números.

Ziquan hace un dibujo en el plano para la clase de arte. Comienza colocando su bolígrafo en el origen y dibuja una serie de segmentos de línea, de modo que el $n^{th}$ segmento de línea tiene una longitud de $n$ . No se le permite levantar su bolígrafo, de modo que el final del $n^{th}$ segmento es el comienzo del $(n + 1)^{th}$ segmento. Los segmentos de línea dibujados pueden intersectarse e incluso superponerse a los segmentos dibujados anteriormente. Después de dibujar un número finito de segmentos de línea, Ziquan se detiene y entrega su dibujo a su profesor de arte. Aprueba el curso si el dibujo que entrega es un cuadrado de $N$ por $N$ , para algún entero positivo $N$ , y suspende el curso en caso contrario. ¿Es posible que Ziquan apruebe el curso?

Sean $a_1, a_2, a_3, . . .$ una secuencia de números reales positivos que satisface $a_1 = 1$ y $a^2_{n+1} + a_{n+1} = a_n$ para cada número natural $n$ . Demuestra que $a_n \ge \frac{1}{n}$ para cada número natural $n$ .