Sea $y_{1}, y_{2}, y_{3},\ldots$ una secuencia tal que $y_{1}=1$ y, para $k>0,$ se define por la relación: \[y_{2k}=\begin{cases}2y_{k}& \text{si}~k~ \text{es par}\\ 2y_{k}+1 & \text{si}~k~ \text{es impar}\end{cases}\] \[y_{2k+1}=\begin{cases}2y_{k}& \text{si}~k~ \text{es impar}\\ 2y_{k}+1 & \text{si}~k~ \text{es par}\end{cases}\] Demuestre que la secuencia toma cada valor entero positivo exactamente una vez.

Un número de escuelas participó en un torneo de tenis. No hubo dos jugadores de la misma escuela que jugaran uno contra el otro. Cada dos jugadores de diferentes escuelas jugaron exactamente un partido entre sí. Un partido entre dos niños o entre dos niñas se llamó individual y el que se jugaba entre un niño y una niña se llamó individual mixto. El número total de niños difería del número total de niñas en como máximo 1. El número total de individuales difería del número total de individuales mixtos en como máximo 1. ¿Como máximo cuántas escuelas estuvieron representadas por un número impar de jugadores?

En el triángulo $ABC,$ las medianas de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ son perpendiculares. Demuestre que $\cot B+\cot C\ge \frac23.$

Demuestre que el número $x$ es racional si y solo si se pueden elegir tres términos distintos que formen una progresión geométrica de la secuencia \[x, ~ x+1, ~ x+2,~ x+3,\ldots . \]

Determine un triángulo para el cual los tres lados y una altura son cuatro enteros consecutivos y para el cual esta altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos con lados enteros. Demuestre que solo existe un triángulo de este tipo.

Si $S$ es una secuencia de enteros positivos, sea $p(S)$ el producto de los miembros de $S$. Sea $m(S)$ la media aritmética de $p(T)$ para todos los subconjuntos no vacíos $T$ de $S$. Suponga que $S'$ se forma a partir de $S$ agregando un entero positivo adicional. Si $m(S) = 13$ y $m(S') = 49$, encuentre $S'$.

Sea $x_{n + 1} = 4x_n - x_{n - 1}$ , $x_0 = 0$ , $x_1 = 1$ , e $y_{n + 1} = 4y_n - y_{n - 1}$ , $y_0 = 1$ , $y_1 = 2$ . Demuestre que para todo $n \ge 0$ que $y_n^2 = 3x_n^2 + 1$.

Suponga que $S$ es un conjunto finito de al menos cinco puntos en el plano; algunos están coloreados de rojo, los otros están coloreados de azul. Ningún subconjunto de tres o más puntos del mismo color son colineales. Demuestre que existe un triángulo (i) cuyos vértices son todos del mismo color, y (ii) al menos un lado del triángulo no contiene un punto del color opuesto.

Una casa tiene la forma de un triángulo, con un perímetro de $P$ metros y un área de $A$ metros cuadrados. El jardín consiste en todo el terreno dentro de los 5 metros de la casa. ¿Cuánto terreno ocupan el jardín y la casa juntos?

Para qué valores reales de $k$, $1988x^2 + kx + 8891$ y $8891x^2 + kx + 1988$ tienen un cero común?