Para cada entero positivo $k$ , sea $S(k)$ la suma de sus dígitos. Por ejemplo, $S(21) = 3$ y $S(105) = 6$ . Sea $n$ el entero más pequeño para el cual $S(n) - S(5n) = 2013$ . Determinar el número de dígitos en $n$ .

Cuatro niños y cuatro niñas traen cada uno un regalo a un intercambio de regalos de Navidad. En una hoja de papel, cada niño escribe al azar el nombre de una niña, y cada niña escribe al azar el nombre de un niño. Al mismo tiempo, cada persona pasa su regalo a la persona cuyo nombre está escrito en su hoja. Determinar la probabilidad de que ocurran ambos eventos: (i) Cada persona recibe exactamente un regalo; (ii) Ninguna pareja intercambió regalos entre sí (es decir, si $A$ le dio su regalo a $B$ , entonces $B$ no le dio su regalo a $A$ ) .

Un entero positivo $n$ tiene la propiedad de que existen tres enteros positivos $x, y, z$ tales que $\text{lcm}(x, y) = 180$ , $\text{lcm}(x, z) = 900$ , y $\text{lcm}(y, z) = n$ , donde $\text{lcm}$ denota el mínimo común múltiplo. Determinar el número de enteros positivos $n$ con esta propiedad.

En el triángulo $ABC$ , $\angle A = 90^\circ$ y $\angle C = 70^\circ$ . $F$ es un punto en $AB$ tal que $\angle ACF = 30^\circ$ , y $E$ es un punto en $CA$ tal que $\angle CF E = 20^\circ$ . Demostrar que $BE$ biseca a $\angle B$ .

Determinar todas las soluciones reales a la siguiente ecuación: \[2^{(2^x)}-3\cdot2^{(2^{x-1}+1)}+8=0.\]

Una caminata consiste en una secuencia de pasos de longitud 1 tomados en las direcciones norte, sur, este u oeste. Una caminata es autoevitante si nunca pasa por el mismo punto dos veces. Sea $f(n)$ el número de caminatas autoevitantes de $n$ pasos que comienzan en el origen. Calcula $f(1)$ , $f(2)$ , $f(3)$ , $f(4)$ , y demuestra que \[2^n < f(n) \le 4 \cdot 3^{n - 1}.\]

Un perro parado en el centro de una arena circular ve a un conejo en la pared. El conejo corre alrededor de la pared y el perro lo persigue a lo largo de un camino único que está determinado por correr a la misma velocidad y permanecer en la línea radial que une el centro de la arena con el conejo. Demuestra que el perro alcanza al conejo justo cuando llega a un punto a un cuarto del camino alrededor de la arena.

Sean $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ enteros tales que $1 \le a < b < c < d < e$ . Demuestra que \[\frac{1}{[a,b]} + \frac{1}{[b,c]} + \frac{1}{[c,d]} + \frac{1}{[d,e]} \le \frac{15}{16},\] donde $[m,n]$ denota el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$ (por ejemplo, $[4,6] = 12$ ).

Se sabe en geometría euclidiana que la suma de los ángulos de un triángulo es constante. Sin embargo, demuestra que la suma de los ángulos diedros de un tetraedro no es constante.

Dado: (i) $a$ , $b > 0$ ; (ii) $a$ , $A_1$ , $A_2$ , $b$ es una progresión aritmética; (iii) $a$ , $G_1$ , $G_2$ , $b$ es una progresión geométrica. Demuestra que \[A_1 A_2 \ge G_1 G_2.\]