Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $a^2+b^2-c^2$ divide a $P(a)+P(b)-P(c)$ , para todos los enteros $a,b,c$ .

Determina todas las ternas de enteros positivos $(x,y,z)$ tales que $x^4+y^4 =2z^2$ y $x$ e $y$ son relativamente primos.

Considera un triángulo acutángulo $ABC$ en el que $A_1, B_1,$ y $C_1$ son los pies de las alturas desde $A, B,$ y $C,$ respectivamente, y $H$ es el ortocentro. Las perpendiculares desde $H$ sobre $A_1C_1$ y $A_1B_1$ intersecan las líneas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q,$ respectivamente. Demuestra que la línea perpendicular a $B_1C_1$ que pasa por $A$ también contiene el punto medio del segmento de línea $PQ$.

Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Considera un cuadrado de $n\times n$. En cada celda del cuadrado, se debe escribir uno de los números del conjunto $M=\{1,2,\ldots,2n-1\}$. Tal llenado se llama bueno si, para cada índice $1\leq i\leq n,$ la fila no. $i$ y la columna no. $i,$ juntas, contienen todos los elementos de $M$. Demuestra que existe $n\geq 3$ para el cual existe un llenado bueno. Demuestra que para $n=2017$ no existe un llenado bueno del cuadrado de $n\times n$.

¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar la suma de los dígitos del número $3n^2+n+1,$ $n\in\mathbb{N}$?

Sean $k$ y $n$ enteros positivos. Considere una matriz de $2\left(2^n-1\right)$ filas por $k$ columnas. Se dice que una $2$ - coloración de los elementos de la matriz es aceptable si dos columnas cualesquiera concuerdan en menos de $2^n-1$ entradas en la misma fila. Dado $n$, determine el valor máximo de $k$ para que exista una $2$ - coloración aceptable.

Sea $\mathcal{C}$ un círculo con centro $O$, y sea $A$ un punto fuera del círculo. Sean las dos tangentes desde el punto $A$ al círculo $\mathcal{C}$ que se encuentran con este círculo en los puntos $S$ y $T$, respectivamente. Dado un punto $M$ en el círculo $\mathcal{C}$ que es diferente de los puntos $S$ y $T$, sea la línea $MA$ que se encuentra con la perpendicular desde el punto $S$ a la línea $MO$ en $P$. Demostrar que la reflexión del punto $S$ en el punto $P$ se encuentra en la línea $MT$.

Demostrar que la suma: \[ S_n=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}\cdot 2005+\binom{n}{5}\cdot 2005^2+...=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k+1}\cdot 2005^k \] es divisible por $2^{n-1}$ para cualquier entero positivo $n$.

Demostrar que la ecuación $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene al menos $31$ soluciones en enteros positivos $x$ e $y$ con $x\leq 2005$.

Demuestre que existen solo finitamente muchos enteros positivos n tales que $(\frac{n}{1}+1)(\frac{n}{2}+2)...(\frac{n}{n}+n)$ es un entero.