Sea n > 1 un entero y $a_1, a_2, . . . , a_n$ sean reales positivos con suma 1. a) Muestre que existe una constante c ≥ 1/2 tal que $\sum \frac{a_k}{1+(a_0+a_1+...+a_{k-1})^2}\geq c$ , donde $a_0 = 0$ . b) Muestre que 'el mejor' valor de c es al menos $\frac{\pi}{4}$ .

Un banco tiene un conjunto S de códigos formados solo con 0 y 1, cada uno con longitud n. Dos códigos son 'amigos' si son diferentes en solo una posición. Sabemos que cada código tiene exactamente k 'amigos'. Demuestre que: 1) S tiene un número par de elementos 2) S contiene al menos $2^k$ códigos

Sea $ABC$ un triángulo, $D$ el pie de la altura desde $A$ y $M$ el punto medio del lado $BC$ . Sea $S$ un punto en el segmento cerrado $DM$ y sean $P, Q$ las proyecciones de $S$ en las líneas $AB$ y $AC$ respectivamente. Demuestre que la longitud del segmento $PQ$ no excede un cuarto del perímetro del triángulo $ABC$ .

Se elimina un cuadrado unitario de la esquina de una cuadrícula de $n\times n$ donde $n \geq 2$ . Demuestre que el resto puede cubrirse con copias de las 'formas L' que constan de $3$ o $5$ cuadrados unitarios, como se muestra en la figura a continuación. Cada cuadrado debe cubrirse una vez y las formas L no deben sobrepasar los límites de la cuadrícula.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC,$ $I$ su incentro, y $M$ el punto medio del lado $BC$ . Si $IA=IM,$ determine el valor posible más pequeño del ángulo $AIM$ .

Determine todos los enteros positivos $n>1$ tales que para cualquier divisor $d$ de $n,$ los números $d^2-d+1$ y $d^2+d+1$ son primos.

Sea $S=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{2015}x_{2016},$ donde $x_1,x_2,\ldots,x_{2016}\in\{\sqrt{3}-\sqrt{2},\sqrt{3}+\sqrt{2}\}.$ ¿Puede $S$ ser igual a $2016?$

Sea $n\ge3$ un entero positivo. Hallar los números reales $x_1\ge0,\ldots,x_n\ge 0$, con $x_1+x_2+\ldots +x_n=n$, para los cuales la expresión \[ (n-1)(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)+nx_1x_2\ldots x_n\] toma un valor mínimo.

Sea $p$ un número primo de la forma $4k+3$. Demostrar que no existen enteros $w,x,y,z$ cuyo producto no sea divisible por $p$, tales que: \[ w^{2p}+x^{2p}+y^{2p}=z^{2p}. \]

Todos los lados y diagonales de un $n$-gono convexo, $n\ge 3$, se colorean con uno de dos colores. Demostrar que existen $\left[\frac{n+1}{3}\right]$ segmentos monocromáticos disjuntos por pares. (Dos segmentos son disjuntos si no comparten un punto final o un punto interior).