Dado un triángulo $ABC$, sean $A',B',C'$ los pies perpendiculares trazados desde el centroide $G$ del triángulo $ABC$ a los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Reflejar $A',B',C'$ a través de $G$ a $A'',B'',C''$ respectivamente. Demostrar que las líneas $AA'',BB'',CC''$ son concurrentes.

Determinar todos los números enteros $n\ge 3$ tales que el $n$-gono regular puede descomponerse en triángulos isósceles mediante diagonales no intersecantes.

Sea $A$ un dominio integral y $A[X]$ su anillo de polinomios asociado. Para todo entero $n \ge 2$ definimos la aplicación $\varphi_n : A[X] \to A[X],$ $\varphi_n(f)=f^n$ y asumimos que el conjunto $$M= \Big\{ n \in \mathbb{Z}_{\ge 2} : \varphi_n \mathrm{~es~un~endomorfismo~del~anillo~} A[X] \Big\}$$ es no vacío. Demostrar que existe un único número primo $p$ tal que $M=\{p,p^2,p^3, \ldots\}.$

Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función monótona y $a,b,c,d$ números reales con $a$ y $c$ distintos de cero. Demostrar que si las igualdades $\int\limits_x^{x+\sqrt{3}} f(t) \mathrm{d}t=ax+b$ y $\int\limits_x^{x+\sqrt{2}} f(t) \mathrm{d}t=cx+d$ se cumplen para todo número real $x,$ entonces $f$ es una función polinómica de grado uno.

Para un grupo finito $G$ denotamos por $n(G)$ el número de elementos del grupo y por $s(G)$ el número de subgrupos del mismo. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.\na) Para todo $a>0$ existe un grupo finito $G$ con $\frac{n(G)}{s(G)}<a.$\nb) Para todo $a>0$ existe un grupo finito $G$ con $\frac{n(G)}{s(G)}>a.$

Encontrar todas las funciones continuas $ f: \mathbb{R}\to [1,\infty)$ para las cuales existe $ a\in\mathbb{R}$ y un entero positivo $ k$ tal que $$ f(x)f(2x)\cdot...\cdot f(nx)\leq an^k$$ para todo real $ x$ y todos los enteros positivos $ n$ .

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $$f(x)=f \left( \frac{x}{2} \right) + \frac{x}{2} f'(x), ~\forall x \in \mathbb{R}.$$ Demostrar que $f$ es una función polinómica de grado como máximo uno.

Sean $a,b \in \mathbb{R},$ $a<b$ y $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ dos funciones diferenciables con derivadas crecientes y $f'(a)>0,$ $g'(a)>0.$ Demostrar que existe $c \in [a,b]$ tal que $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot \frac{g(b)-g(a)}{b-a}=f'(c)g'(c).$$

Sea $k$ un entero positivo, sean $z_1,z_2, \ldots, z_k \in \mathbb{C}$ distintos y sean $u_1,u_2,\ldots,u_k \in \mathbb{C}$ tales que el conjunto $\big\{a_n=u_1z_1^n+u_2z_2^n+\ldots+u_kz_k^n : n \in \mathbb{Z}_{>0} \big\}$ es finito. Demostrar que existe un entero positivo $p$ tal que $a_n=a_{n+p},$ para cualquier entero positivo $n.$

Sea $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ y $C(A)=\{B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) : AB=BA \}.$ Demostrar que $$|\det(A+B)| \ge |\det B|,$$ para cualquier $B \in C(A),$ si y solo si $A^2=O_2.$