Sea $n\geq 2$ un entero positivo. Demuestra que existe un entero positivo $m$, tal que $n\mid m, \ m<n^4$ y a lo sumo cuatro dígitos distintos se utilizan en la representación decimal de $m$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con ángulos $\sphericalangle A, \sphericalangle C\geq90^{\circ}$. En los lados $AB,BC,CD$ y $DA$, considera los puntos $K,L,M$ y $N$ respectivamente. Demuestra que el perímetro de $KLMN$ es mayor o igual que $2\cdot AC$.

Para cualquier subconjunto no vacío $X$ de $M=\{1,2,3,...,2021\}$, sea $a_X$ la suma del elemento más grande y el más pequeño de $X$. Determina la media aritmética de todos los valores de $a_X$, cuando $X$ recorre todos los subconjuntos no vacíos de $M$.

En un tablero, Ana y Bob comienzan a escribir $0$s y $1$s alternativamente hasta que cada uno de ellos haya escrito $2021$ dígitos. Ana comienza este procedimiento y cada uno de ellos siempre agrega un dígito a la derecha de los ya existentes. Ana gana el juego si, después de que dejan de escribir, el número resultante (en binario) puede ser escrito como la suma de dos cuadrados. De lo contrario, Bob gana. Determina quién tiene una estrategia ganadora.

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. La circunferencia de centro $A$ y radio $AI$ intersecta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $M$ y $N$. Demuestra que la línea $MN$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$

Sea $n\geq 2$ un entero positivo. En un tablero de $n\times n$, se colocan $n$ torres de tal manera que ninguna se ataque entre sí. Todas las torres se mueven al mismo tiempo y sólo se les permite moverse en un cuadrado adyacente al que se encuentran. Determina todos los valores de $n$ para los cuales existe una colocación de las torres de modo que, después de un movimiento, las torres aún no se ataquen entre sí. Nota: Dos cuadrados son adyacentes si comparten un lado común.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $AB,AC$ y $BC$ en los puntos $M,N$ y $K$ respectivamente. La mediana $AD$ del triángulo $ABC$ intersecta a $MN$ en el punto $L$. Demuestra que $K,I$ y $L$ son colineales, donde $I$ es el incentro del triángulo $ABC$.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(x,y)$ tales que $x\leq y$ y \[\frac{(x+y)(xy-1)}{xy+1}=p,\] donde $p$ es un número primo.

Sea $n\geq 2$ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_n\in[0,1]$ números reales. Encuentra el valor máximo del menor de los números: \[a_1-a_1a_2, \ a_2-a_2a_3,...,a_n-a_na_1.\]

a) Demuestra que $\ln(1+x)\le x,\ (\forall)x\ge 0$.\nb) Sea $a>0$. Demuestra que: \[\lim_{n\to \infty} n\int_0^1\frac{x^n}{a+x^n}dx=\ln \frac{a+1}{a}\]