Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$, sean $G,H$ su centroide y ortocentro. Sea $D$ la proyección ortogonal de $A$ sobre la recta $BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. La circunferencia circunscrita de $ABC$ cruza el rayo $HM$ que emana de $M$ en $P$ y el rayo $DG$ que emana de $D$ en $Q$, fuera del segmento $DG$. Demuestre que las rectas $DP$ y $MQ$ se encuentran en la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Un país plano tiene un número impar de ciudades separadas por distancias distintas por pares. Algunas de estas ciudades están conectadas por vuelos directos de dos vías. Cada ciudad está directamente conectada a exactamente otras dos ciudades, y estas últimas se encuentran más lejos de ella. Demuestre que, utilizando estos vuelos, se puede ir de cualquier ciudad a cualquier otra ciudad

Determine el radio más pequeño que puede tener un círculo que pasa por EXACTAMENTE tres puntos reticulares.

Considere la secuencia de números racionales definida por $x_1=\frac{4}{3}$, y $x_{n+1}=\frac{x_n^2}{x_n^2-x_n+1}$. Demuestre que el numerador de la expresión en términos más bajos de cada suma $x_1+x_2+...+x_k$ es un cuadrado perfecto.

Considere una colección finita de conjuntos de 3 elementos $A_i$, no dos de los cuales comparten más de un elemento, cuya unión tiene cardinalidad 2017. Demuestre que los elementos de esta unión se pueden colorear con dos colores, azul y rojo, de modo que al menos 64 elementos sean azules y cada $A_i$ tenga al menos un elemento rojo.

Sean $ABCD$ un trapecio, $AD\parallel BC$, y sean $E,F$ puntos en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $AEF$ se encuentra con $AD$ nuevamente en $A_1$, y la circunferencia circunscrita de $CEF$ se encuentra con $BC$ nuevamente en $C_1$. Demuestre que $A_1C_1,BD,EF$ son concurrentes.

Sea $M$ un conjunto de $13$ enteros positivos con la propiedad de que $\forall m\in M, 100\leq m\leq 999$. Demuestra que existe un subconjunto $S\subset M$ y una combinación de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división – sin usar paréntesis) entre los elementos de $S$, tal que el valor de la expresión resultante es un número racional en el intervalo $(3,4)$.

Sean $p,q$ enteros positivos. Para cualquier $a,b\in\mathbb{R}$ define los conjuntos $$P(a)=\bigg\{a_n=a + n \cdot \frac{1}{p} : n\in\mathbb{N}\bigg\}\text{ y }Q(b)=\bigg\{b_n=b + n \cdot \frac{1}{q} : n\in\mathbb{N}\bigg\}.$$ La distancia entre $P(a)$ y $Q(b)$ es el valor mínimo de $|x-y|$ cuando $x\in P(a), y\in Q(b)$. Encuentra el valor máximo de la distancia entre $P(a)$ y $Q(b)$ cuando $a,b\in\mathbb{R}$.

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sea $AD$ la altura desde $A$ ($D\in BC$). Sean $M,N,P$ y $Q$ los puntos medios de $AB,AC,BD$ y $CD$ respectivamente. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMN$ y $POQ$. Demuestra que $\mathcal{C}_1\cap \mathcal{C}_2\cap AD\neq \emptyset$.

Sean $a,b,c>0$ números reales con la propiedad de que $a+b+c=1$. Demuestra que \[\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}\geq\frac{7}{1+abc}.\]