Sea $VABC$ una pirámide triangular regular con base $ABC$ , de centro $O$ . Los puntos $I$ y $H$ son el centro de la circunferencia inscrita, respectivamente el ortocentro de $\vartriangle VBC$ . Sabiendo que $AH = 3 OI$ , determina la medida del ángulo entre la arista lateral de la pirámide y el plano de la base.

Sean $a, b, c $ enteros positivos distintos. a) Demuestra que $a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 \ge 9$ . b) si, además, $ab + ac + bc +3 = abc > 0,$ demuestra que $$(a -1)(b -1)+(a -1)(c -1)+(b -1)(c -1) \ge 6.$$

Encuentra todos los números reales $x, y,z,t \in [0, \infty)$ tales que $$x + y + z \le t, \,\,\, x^2 + y^2 + z^2 \ge t \,\, y \,\,\,x^3 + y^3 + z^3 \le t.$$

Considera $\vartriangle ABC$ donde $\angle ABC= 60 ^o$ . Los puntos $M$ y $D$ están en los lados $(AC)$ , respectivamente $(AB)$ , tales que $\angle BCA = 2 \angle MBC$ , y $BD = MC$ . Determina $\angle DMB$ .

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ tenemos que $\angle BCD = \angle ADC \ge 90 ^o$ . Las bisectrices de $\angle BAD$ y $\angle ABC$ se intersecan en $M$ . Demuestra que si $M \in CD$ , entonces $M$ es el punto medio de $CD$ .

Los números $x, y, z, t, a$ y $b$ son enteros positivos, tales que $xt-yz = 1$ y $$\frac{x}{y} \ge \frac{a}{b} \ge \frac{z}{t} .$$ Demuestra que $$ab \le (x + z) (y +t)$$

Encuentra todos los enteros positivos $r$ con la propiedad de que existen números primos positivos $p$ y $q$ tales que $$p^2 + pq + q^2 = r^2 .$$

Considera un tetraedro $A_1A_2A_3A_4$. Se dice que un punto $N$ es un punto de Servais si sus proyecciones sobre las seis aristas del tetraedro se encuentran en un plano $\alpha(N)$ (llamado plano de Servais). Demostrar que si los seis puntos $Nij$ simétricos a un punto $M$ con respecto a los puntos medios $Bij$ de las aristas $A_iA_j$ son puntos de Servais, entonces $M$ está contenido en todos los planos de Servais $\alpha(Nij )$.

Sean $M_1, M_2, . . ., M_{11}$ conjuntos de $5-$ elementos tales que $M_i \cap M_j \neq {\O}$ para todo $i, j \in \{1, . . ., 11\}$. Determine el valor mínimo posible del mayor número de los conjuntos dados que tienen intersección no vacía.

Sea $n\geq 4$ un entero. Encontrar el área máxima posible de un $n-gon$ inscrito en un círculo unitario y que tiene dos diagonales perpendiculares.