Encuentra todas las funciones diferenciables $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que verifican las condiciones: $ \text{(i)}\quad\forall x\in\mathbb{Z} \quad f'(x) =0 $ $ \text{(ii)}\quad\forall x\in\mathbb{R}\quad f'(x)=0\implies f(x)=0 $

Sea un conjunto finito $ A $ de números reales, y define los conjuntos $ S_{\pm }=\{ x\pm y| x,y\in A \} . $ Demuestra que $ \left| A \right|\cdot\left| S_{-} \right| \le \left| S_{+} \right|^2 . $

Encuentra todas las funciones $ f,g:\mathbb{Q}\longrightarrow\mathbb{Q} $ que verifican las relaciones $$ \left\{\begin{matrix} f(g(x)+g(y))=f(g(x))+y \\ g(f(x)+f(y))=g(f(x))+y\end{matrix}\right. , $$ para todo $ x,y\in\mathbb{Q} . $

Considera un número natural $ n $ para el cual existe un número natural $ k $ y $ k $ primos distintos tales que $ n=p_1\cdot p_2\cdots p_k. $ a) Encuentra el número de funciones $ f:\{ 1, 2,\ldots , n\}\longrightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\} $ que tienen la propiedad de que $ f(1)\cdot f(2)\cdots f\left( n \right) $ divide a $ n. $ b) Si $ n=6, $ encuentra el número de funciones $ f:\{ 1, 2,3,4,5,6\}\longrightarrow\{ 1,2,3,4,5,6\} $ que tienen la propiedad de que $ f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5)\cdot f(6) $ divide a $ 36. $

Encuentra todas las ternas $ (a,b,c) $ de números complejos no nulos que tienen el mismo valor absoluto y que verifican la igualdad: $$ \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =-1 $$

Sean $a,b,c,d \ge 0$ números reales tales que $a+b+c+d=1$ . Demuestra que $\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{6}+\frac{(c-d)^2}{6}+\frac{(d-b)^2}{6}} +\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d} \le 2.$

Sea un punto $ P $ en el interior de un triángulo $ ABC. $ Las líneas $ AP,BP,CP $ se encuentran con $ BC,AC, $ respectivamente, $ AB $ en $ A_1,B_1, $ respectivamente, $ C_1. $ Si $$ \mathcal{A}_{PBA_1} +\mathcal{A}_{PCB_1} +\mathcal{A}_{PAC_1} =\frac{1}{2}\mathcal{A}_{ABC} , $$ demuestra que $ P $ está sobre una mediana de $ ABC. $ $ \mathcal{A} $ denota área.

Una función cuadrática tiene la propiedad de que para cualquier intervalo de longitud $ 1, $ la longitud de su imagen es al menos $ 1. $ Demuestra que para cualquier intervalo de longitud $ 2, $ la longitud de su imagen es al menos $ 4. $

Demuestra que entre las raíces cuadradas de los primeros $ 2015 $ números naturales, no podemos elegir una secuencia aritmética compuesta por $ 45 $ elementos.

Un entero positivo se llamará típico si la suma de sus dígitos decimales es un múltiplo de $2011$ . a) Demuestra que hay infinitos números típicos, cada uno con al menos $2011$ múltiplos que también son números típicos. b) ¿Existe un entero positivo tal que cada uno de sus múltiplos sea típico?