Un entero positivo $N$ tiene los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ y $7$, de modo que cada dígito $i$, $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ocurre $4i$ veces en la representación decimal de $N$. Demuestra que $N$ no es un cuadrado perfecto.

El trapecio isósceles $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. La paralela a las bases a través del punto de intersección de las diagonales intersecta los lados no paralelos $[BC]$ y $[AD]$ en los puntos $P$ y $R$ respectivamente. El punto $Q$ es simétrico del punto $P$ con respecto al punto medio del segmento $[BC]$. Prueba que:\na) $QR = AD$,\nb) $QR \perp AD$.

En un cuadrado de lado $60$, se dan $121$ puntos distintos. Demuestra que entre ellos existen tres puntos que son vértices de un triángulo con un área que no excede $30$.

Encuentra todos los polinomios no constantes $ f\in\mathbb{Q} [X] $ que no tienen ninguna raíz real en el intervalo $ [0,1] $ y para los cuales existe una función $ \xi :[0,1]\longrightarrow\mathbb{Q} [X]\times\mathbb{Q} [X], \xi (x):=\left( g_x,h_x \right) $ tal que $ h_x(x)\neq 0 $ y $ \int_0^x \frac{dt}{f(t)} =\frac{g_x(x)}{h_x(x)} , $ para todo $ x\in [0,1] . $

Sea $\mathcal{C}$ el conjunto de todas las funciones dos veces diferenciables $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ con al menos dos ceros (no necesariamente distintos) y $|f''(x)| \le 1,$ para todo $x \in [0,1].$ Encuentra el mayor valor de la integral $$\int\limits_0^1 |f(x)| \mathrm{d}x$$ cuando $f$ recorre el conjunto $\mathcal{C},$ así como las funciones que alcanzan este máximo. Nota: Una función diferenciable $f$ tiene dos ceros en el mismo punto $a$ si $f(a)=f'(a)=0.$

Demuestra que el conjunto de todos los elementos menos $ 0 $ de un anillo de división finito que tiene al menos $ 4 $ elementos puede ser particionado en dos conjuntos no vacíos $ A,B $ que tienen la propiedad de que $$ \sum_{x\in A} x=\prod_{y\in B} y. $$

Sea un anillo que tiene la propiedad de que todos sus elementos son el producto de dos elementos idempotentes de él. Demuestra que: a) $ 1 $ es la única unidad de este anillo. b) este anillo es booleano.

Sean tres números naturales $ k,m,n $ una matriz $ m\times n $ $ A, $ una matriz $ n\times m $ $ B, $ y $ k $ números complejos $ a_0,a_1,\ldots ,a_k $ tales que se cumplen las siguientes condiciones. $ \text{(i)}\quad m\ge n\ge 2 $ $ \text{(ii)}\quad a_0I_m+a_1AB+a_2(AB)^2+\cdots +a_k(AB)^k=O_m $ $ \text{(iii)}\quad a_0I_m+a_1BA+a_2(BA)^2+\cdots +a_k(BA)^k\neq O_n $ Demuestra que $ a_0=0. $

Sean dos números reales no negativos $ a,b $ con $ b>a, $ y una sucesión $ \left( x_n \right)_{n\ge 1} $ de números reales tal que la sucesión $ \left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n^a} \right)_{n\ge 1} $ es acotada. Demuestra que la sucesión $ \left( x_1+\frac{x_2}{2^b} +\frac{x_3}{3^b} +\cdots +\frac{x_n}{n^b} \right)_{n\ge 1} $ es convergente.

Sea una matriz compleja $ 5\times 5 $ $ A $ cuya traza es $ 0, $ y tal que $ I_5-A $ es invertible. Demuestra que $ A^5\neq I_5. $