Demostrar que si $n$ es un entero positivo libre de cuadrados, no existen enteros positivos coprimos $x$ e $y$ tales que $(x + y)^3$ divida a $x^n+y^n$.

Define una sucesión de enteros por $a_0=1$ , y $a_n=\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}a_k$ , $n \geq 1$ . Sea $m$ un entero positivo , sea $p$ un primo , y sean $q$ y $r$ enteros no negativos . Demuestre que : $$a_{p^mq+r} \equiv a_{p^{m-1}q+r} \pmod{p^m}$$

Sea $n$ un entero mayor que $1$ , y sea $p$ un divisor primo de $n$ . Una confederación consiste en $p$ estados, cada uno de los cuales tiene exactamente $n$ aeropuertos. Hay $p$ compañías aéreas que operan vuelos interestatales solamente, de tal manera que cada dos aeropuertos en diferentes estados están unidos por un vuelo directo (de dos vías) operado por una de estas compañías. Determine el entero máximo $N$ que satisface la siguiente condición: En cada confederación de este tipo es posible elegir una de las $p$ compañías aéreas y $N$ de los $np$ aeropuertos de tal manera que uno puede viajar (no necesariamente directamente) desde cualquiera de los $N$ aeropuertos elegidos a cualquier otro sólo por vuelos operados por la compañía aérea elegida.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P_1$ y $P_2$ puntos en el lado $AB$ tales que $P_2$ se encuentra en el segmento $BP_1$ y $AP_1 = BP_2$ ; de manera similar, sean $Q_1$ y $Q_2$ puntos en el lado $BC$ tales que $Q_2$ se encuentra en el segmento $BQ_1$ y $BQ_1 = CQ_2$ . Los segmentos $P_1Q_2$ y $P_2Q_1$ se encuentran en $R$ , y los círculos $P_1P_2R$ y $Q_1Q_2R$ se encuentran nuevamente en $S$ , situado dentro del triángulo $P_1Q_1R$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que los ángulos $P_1RS$ y $Q_1RM$ son iguales.

Sea $n$ un entero positivo . Si $\sigma$ es una permutación de los primeros $n$ enteros positivos , sea $S(\sigma)$ el conjunto de todas las sumas distintas de la forma $\sum_{i=k}^{l} \sigma(i)$ donde $1 \leq k \leq l \leq n$ . (a) Exhiba una permutación $\sigma$ de los primeros $n$ enteros positivos tal que $|S(\sigma)|\geq \left \lfloor{\frac{(n+1)^2}{4}}\right \rfloor $ . (b) Demuestre que $|S(\sigma)|>\frac{n\sqrt{n}}{4\sqrt{2}}$ para todas las permutaciones $\sigma$ de los primeros $n$ enteros positivos .

Dado un entero $k \geq 2$ , determine el número más grande de divisores que el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ puede tener en el rango $n-k+1, \ldots, n$ , cuando $n$ recorre los enteros mayores o iguales que $k$ .

Sean $ABC$ y $ABD$ triángulos coplanares con perímetros iguales. Las rectas de soporte de las bisectrices internas de los ángulos $CAD$ y $CBD$ se encuentran en $P$ . Demuestre que los ángulos $APC$ y $BPD$ son congruentes.

Dados dos enteros $h \geq 1$ y $p \geq 2$ , determine el número mínimo de pares de oponentes que un parlamento de $hp$ miembros puede tener, si en cada partición del parlamento en $h$ cámaras de $p$ miembros cada una, alguna cámara contiene al menos un par de oponentes.

Si $k$ y $n$ son enteros positivos , y $k \leq n$ , sea $M(n,k)$ denote el mínimo común múltiplo de los números $n , n-1 , \ldots , n-k+1$ . Sea $f(n)$ el entero positivo más grande $ k \leq n$ tal que $M(n,1)<M(n,2)<\ldots <M(n,k)$ . Demuestre que : (a) $f(n)<3\sqrt{n}$ para todos los enteros positivos $n$ . (b) Si $N$ es un entero positivo , entonces $f(n) > N$ para todos los enteros positivos $n$ excepto un número finito de ellos .

Sean $(a_n)_{n \geq 0}$ y $(b_n)_{n \geq 0}$ sucesiones de números reales tales que $ a_0>\frac{1}{2}$ , $a_{n+1} \geq a_n$ y $b_{n+1}=a_n(b_n+b_{n+2})$ para todos los enteros no negativos $n$ . Demuestre que la sucesión $(b_n)_{n \geq 0}$ está acotada .