Dos círculos $\gamma $ y $\gamma'$ se cruzan entre sí en los puntos $A$ y $B$ . La tangente a $\gamma'$ en $A$ se encuentra nuevamente con $\gamma$ en $C$ , la tangente a $\gamma$ en $A$ se encuentra nuevamente con $\gamma'$ en $C'$ , y la recta $CC'$ separa los puntos $A$ y $B$ . Sea $\Gamma$ el círculo externamente tangente a $\gamma$ , externamente tangente a $\gamma'$ , tangente a la recta $CC'$ , y que se encuentra en el mismo lado de $CC'$ que $B$ . Demuestre que los círculos $\gamma$ y $\gamma'$ interceptan segmentos iguales en una de las tangentes a $\Gamma$ que pasa por $A$ .

Considere el retículo integral $\mathbb{Z}^n$ , $n \geq 2$ , en el espacio euclidiano $n$ - dimensional. Defina una recta en $\mathbb{Z}^n$ como un conjunto de la forma $a_1 \times \cdots \times a_{k-1} \times \mathbb{Z} \times a_{k+1} \times \cdots \times a_n$ donde $k$ es un entero en el rango $1,2,\ldots,n$ , y los $a_i$ son enteros arbitrarios. Un subconjunto $A$ de $\mathbb{Z}^n$ se llama admisible si no está vacío, es finito, y cada recta en $\mathbb{Z}^{n}$ que interseca a $A$ contiene al menos dos puntos de $A$ . Un subconjunto $N$ de $\mathbb{Z}^n$ se llama nulo si no está vacío, y cada recta en $\mathbb{Z}^n$ interseca a $N$ en un número par de puntos (posiblemente cero). (a) Demuestre que cada conjunto admisible en $\mathbb{Z}^2$ contiene un conjunto nulo. (b) Exhiba un conjunto admisible en $\mathbb{Z}^3$ ningún subconjunto del cual es un conjunto nulo .

Dado un número real positivo $t$ , determine los conjuntos $A$ de números reales que contienen $t$ , para los cuales existe un conjunto $B$ de números reales que depende de $A$ , $|B| \geq 4$ , tal que los elementos del conjunto $AB =\{ ab \mid a\in A , b \in B \}$ forman una progresión aritmética finita .

Sea $ABC$ un triángulo . Sea $A'$ el centro del círculo que pasa por el punto medio del lado $BC$ y las proyecciones ortogonales de $B$ y $C$ sobre las rectas de soporte de las bisectrices internas de los ángulos $ACB$ y $ABC$ , respectivamente ; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar . Demuestre que el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$ y la circunferencia circunscrita de $A'B'C'$ son concéntricos.

Sea $a$ un entero y $n$ un entero positivo . Demuestre que la suma : $$\sum_{k=1}^{n} a^{(k,n)}$$ es divisible por $n$ , donde $(x,y)$ es el máximo común divisor de los números $x$ e $y$ .

Dado un entero $N \geq 4$ , determine el valor más grande que la suma $$\sum_{i=1}^{\left \lfloor{\frac{k}{2}}\right \rfloor+1}\left( \left \lfloor{\frac{n_i}{2}}\right \rfloor+1\right)$$ puede alcanzar, donde $k, n_1, \ldots, n_k$ recorren los enteros sujetos a $k \geq 3$ , $n_1 \geq \ldots\geq n_k\geq 1$ y $n_1 + \ldots + n_k = N$ .

Sea $k$ un entero positivo congruente con $1$ módulo $4$ que no es un cuadrado perfecto y sea $a=\frac{1+\sqrt{k}}{2}$ . Demuestra que $\{\left \lfloor{a^2n}\right \rfloor-\left \lfloor{a\left \lfloor{an}\right \rfloor}\right \rfloor : n \in \mathbb{N}_{>0}\}=\{1 , 2 , \ldots ,\left \lfloor{a}\right \rfloor\}$ .

Una terna pitagórica es una solución de la ecuación $x^2 + y^2 = z^2$ en enteros positivos tal que $x < y$ . Dado cualquier entero no negativo $n$ , demuestre que algún entero positivo aparece precisamente en $n$ ternas pitagóricas distintas.

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $r$ denote su inradio. Sea $R_A$ denote el radio del círculo internamente tangente en $A$ al círculo $ABC$ y tangente a la recta $BC$ ; los radios $R_B$ y $R_C$ se definen de manera similar. Demuestra que $\frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \frac{1}{R_C}\leq\frac{2}{r}$ .

Sea $ABC$ un triángulo, sea $O$ su circuncentro, sea $A'$ la proyección ortogonal de $A$ sobre la recta $BC$ , y sea $X$ un punto en el rayo abierto $AA'$ que emana de $A$ . La bisectriz interna del ángulo $BAC$ se encuentra nuevamente con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $D$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $DX$ . La recta que pasa por $O$ y es paralela a la recta $AD$ se encuentra con la recta $DX$ en $N$ . Demuestra que los ángulos $BAM$ y $CAN$ son iguales.