Problema 4. Sea t $\left( A,+,\cdot \right)$ un anillo con la propiedad que $x=0$ es la única solución de la ${{x}^{2}}=0,x\in A$ e cuación. Sea $B=\left\{ a\in A|{{a}^{2}}=1 \right\}$ . Probar que: (a) $ab-ba=bab-a$ , cualquiera que sea $a\in A$ y $b\in B$ . (b) $\left( B,\cdot \right)$ es un grupo

Problema 3. Sea $f:\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]\to \left[ 0,\infty \right)$ una función creciente. Probar que: (a) $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( f\left( x \right)-f\left( \frac{\pi }{4} \right) \right)}\left( \sin x-\cos x \right)dx\ge 0.$ (b) Existe $a\in \left[ \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} \right]$ tal que $\int_{0}^{a}{f\left( x \right)\sin x\ dx=}\int_{0}^{a}{f\left( x \right)\cos x\ dx}.$

Problema 2. Un grupo $\left( G,\cdot \right)$ tiene la propiedad y $\left( P \right)$ , si, para cualquier automorfismo f para G, hay dos automorfismos g y h en G, de modo que $f\left( x \right)=g\left( x \right)\cdot h\left( x \right)$ , cualquiera que sea $x\in G$ . Probar que: (a) Todo grupo con la propiedad $\left( P \right)$ es conmutativo. (b) Todo grupo conmutativo finito de orden impar no tiene la propiedad $\left( P \right)$. (c) Ningún grupo finito de orden $4n+2,n\in \mathbb{N}$ , tiene la propiedad y $\left( P \right)$. (El orden de un grupo finito es el número de elementos de ese grupo).

Calcular: $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{0}^{1}{{{{e}^{{{x}^{n}}}}}dx}$

Considera los triángulos acutángulos $ABC$ y $BCD$ , con $\angle BAC = \angle BDC$ , tales que $A$ y $D$ están en lados opuestos de la línea $BC$ . Denota por $E$ el pie de la línea perpendicular a $AC$ que pasa por $B$ y por $F$ el pie de la línea perpendicular a $BD$ que pasa por $C$ . Sea $H_1$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $H_2$ el ortocentro de $BCD$ . Demuestra que las líneas $AD, EF$ y $H_1H_2$ son concurrentes.

Encuentra el valor mínimo y el valor máximo de la expresión $\sqrt{4 -a^2} +\sqrt{4 -b^2} +\sqrt{4 -c^2}$ donde $a,b, c$ son números reales positivos que satisfacen la condición $a^2 + b^2 + c^2=6$

Sea $M$ el conjunto de puntos de coordenadas enteras situados en la línea $d$ de números reales. Coloreamos los elementos de M en blanco o negro. Demuestra que al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera: (a) existe un subconjunto finito $F \subset M$ y un punto $M \in d$ de modo que los elementos del conjunto $M - F$ que se encuentran en uno de los rayos determinados por $M$ en $d$ son todos blancos, y los elementos de $M - F$ que están situados en el rayo opuesto son todos negros, (b) existe un subconjunto infinito $S \subset M$ y un punto $T \in d$ de modo que para cada $A \in S$ el reflejo de A sobre $T$ pertenece a $S$ y tiene el mismo color que $A$

Encuentra todos los pares de enteros $(x,y)$ que satisfacen la siguiente condición: cada uno de los números $x^3 + y$ y $x + y^3$ es divisible por $x^2 + y^2$

Para cualquier secuencia ( $a_1,a_2,...,a_{2013}$ ) de enteros, llamamos a una terna ( $i,j, k$ ) que satisface $1 \le i < j < k \le 2013$ progresiva si $a_k-a_j = a_j -a_i = 1$ . Determina el número máximo de ternas progresivas que una secuencia de $2013$ enteros podría tener.

Sea $D$ el punto medio del lado $[BC]$ del triángulo $ABC$ con $AB \ne AC$ y $E$ el pie de la altura desde $BC$ . Si $P$ es el punto de intersección de la bisectriz perpendicular del segmento de línea $[DE]$ con la perpendicular desde $D$ a la bisectriz del ángulo de $BAC$ , demuestra que $P$ está en el círculo de Euler del triángulo $ABC$ .