Sean $p,q$ números primos positivos y suponga que $q>5$. Demuestre que si $q \mid 2^{p}+3^{p}$, entonces $q>p$.

La distancia entre dos cualesquiera de seis puntos dados en el plano es al menos $1$. Demuestre que la distancia entre algunos dos puntos es al menos $\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{2}}$

Para un conjunto $S$ de $n$ puntos, sean $d_1 > d_2 >... > d_k > ...$ las distancias entre los puntos. Una función $f_k: S \to N$ se llama función de coloración si, para cualquier par $M,N$ de puntos en $S$ con $MN \le d_k$, toma el valor $f_k(M)+ f_k(N)$ en algún punto. Demuestre que para cada $m \in N$ existen enteros positivos $n,k$ y un conjunto $S$ de $n$ puntos tales que toda función de coloración $f_k$ de $S$ satisface $| f_k(S)| \le m$

La secuencia $ (x_n)_{n \geq 1}$ está definida por: $ x_1=1$ $ x_{n+1}=\frac{x_n}{n}+\frac{n}{x_n}$ Demuestre que $ (x_n)$ aumenta y $ [x_n^2]=n$.

Demuestre que hay infinitos n’s para los cuales existe una partición de $\{1,2,...,3n\}$ en subconjuntos $\{a_1,...,a_n\}, \{b_1,...,b_n\}, \{c_1,...,c_n\}$ tales que $a_i +b_i = c_i$ para todo $i$, y demuestre que hay infinitos $n$’s para los cuales no existe tal partición.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $R$ su circunradio. Considere los discos que tienen $OA,OB,OC$ como diámetros, y sea $\Delta$ el conjunto de puntos en el plano que pertenecen al menos a dos de los discos. Demuestre que el área de $\Delta$ es mayor que $R^2/8$.

Las seis caras de un hexaedro son cuadriláteros. Demuestre que si siete de sus vértices se encuentran en una esfera, entonces el octavo vértice también se encuentra en la esfera.

Encuentre todos los polinomios $P(x)$ tales que $2P(2x^2 -1) = P(x)^2 -1$ para todo $x$.

Demuestre la siguiente igualdad para todos los enteros positivos $m,n$ : $$\sum_{k=0}^{n} {m+k \choose k} 2^{n-k} +\sum_{k=0}^m {n+k \choose k}2^{m-k}= 2^{m+n+1}$$

Sean a,b,n enteros positivos tales que $(a,b) = 1$. Demuestre que si $(x,y)$ es una solución de la ecuación $ax+by = a^n + b^n$ entonces $$\left[\frac{x}{b}\right]+\left[\frac{y}{a}\right]=\left[\frac{a^{n-1}}{b}\right]+\left[\frac{b^{n-1}}{a}\right]$$