Sea $M$ un punto en el borde $CD$ de un tetraedro $ABCD$ tal que los tetraedros $ABCM$ y $ABDM$ tienen las mismas áreas totales. Denotamos por $\pi_{AB}$ el plano $ABM$. Los planos $\pi_{AC},...,\pi_{CD}$ se definen análogamente. Demuestre que los seis planos $\pi_{AB},...,\pi_{CD}$ son concurrentes en un cierto punto $N$, y demuestre que $N$ es simétrico al incentro $I$ con respecto al baricentro $G$.

Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el mínimo común múltiplo de los números $1,2,\ldots,n$ y el mínimo común múltiplo de los números: \[\binom{n}{1},\binom{n}{2},\ldots,\binom{n}{n}\] son iguales si y sólo si $n+1$ es un número primo.

Demuestre que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ \frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq 3\sqrt{3}R. \]

Sea $f : N \to N$ una función tal que el conjunto $\{k | f(k) < k\}$ es finito. Demuestre que el conjunto $\{k | g(f(k)) \le k\}$ es infinito para todas las funciones $g : N \to N$.

En el plano cartesiano se da un polígono $P$ cuyos vértices tienen coordenadas enteras y con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Demuestre que si la longitud de cada lado de $P$ es un entero impar, entonces la superficie de P no se puede dividir en rectángulos de $2\times 1$.

En un tetraedro $VABC$ , sea $I$ el incentro y $A',B',C'$ puntos arbitrarios en los lados $AV,BV,CV$ , y sean $S_a,S_b,S_c,S_v$ las áreas de los triángulos $VBC,VAC,VAB,ABC$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $A',B',C',I$ son coplanares si y sólo si $\frac{AA'}{A'V}S_a +\frac{BB'}{B'V}S_b +\frac{CC'}{C'V}S_c = S_v$

Sean $x, y$ números reales tales que $1\le x^2-xy+y^2\le2$ . Demuestre que: a) $\dfrac{2}{9}\le x^4+y^4\le 8$ ; b) $x^{2n}+y^{2n}\ge\dfrac{2}{3^n}$ , para toda $n\ge3$ .

Sean $m,n \ge 2$ enteros. Los lados $A_{00}A_{0m}$ y $A_{nm}A_{n0}$ de un cuadrilátero convexo $A_{00}A_{0m}A_{nm}A_{n0}$ se dividen en $m$ segmentos iguales por los puntos $A_{0j}$ y $A_{nj}$ respectivamente ( $j = 1,...,m-1$ ) . Los otros dos lados se dividen en $n$ segmentos iguales por los puntos $A_{i0}$ y $A_{im}$ ( $i = 1,...,n -1$ ) . Denotemos por $A_{ij}$ la intersección de las líneas $A_{0j}A{nj}$ y $A_{i0}A_{im}$ , por $S_{ij}$ el área del cuadrilátero $A_{ij}A_{i, j+1}A_{i+1, j+1}A_{i+1, j}$ y por $S$ el área del cuadrilátero grande. Demuestre que $S_{ij} +S_{n-1-i,m-1-j} =\n\frac{2S}{mn}$

Sean $(a_{n})_{n\geq 1}$ y $(b_{n})_{n\geq 1}$ la secuencia de enteros positivos definida por $a_{n+1}=na_{n}+1$ y $b_{n+1}=nb_{n}-1$ para $n\geq 1$ . Demuestre que las dos secuencias no pueden tener infinitos términos comunes.

Sean $m,n$ enteros positivos y $p$ un número primo. Demuestre que si $\frac{7^m + p \cdot 2^n}{7^m - p \cdot 2^n}$ es un entero, entonces es un número primo.