Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . Suponga que el circunradio del triángulo es $R = 2p$ , donde $p$ es un número primo. Las líneas $AO,BO,CO$ se encuentran con los lados $BC,CA,AB$ en $A_1,B_1,C_1$ , respectivamente. Dado que las longitudes de $OA_1,OB_1,OC_1$ son enteros positivos, encuentre las longitudes de los lados del triángulo.

Sea $A$ el conjunto de todas las secuencias ordenadas $(a_1,a_2,...,a_{11})$ de ceros y unos. Los elementos de $A$ se ordenan de la siguiente manera: El primer elemento es $(0,0,...,0)$ , y el $n + 1$ − ésimo se obtiene del $n$ − ésimo cambiando el primer componente desde la derecha de tal manera que la secuencia recién obtenida no se haya obtenido antes. Encuentre el término $1992$ − ésimo del conjunto ordenado $A$

Sea $\pi$ el conjunto de puntos en un plano y $f : \pi \to \pi$ una aplicación tal que la imagen de cualquier triángulo (como su línea poligonal) es un cuadrado. Demuestre que $f(\pi)$ es un cuadrado.

Sean $ a_1, a_2, ..., a_k $ enteros positivos distintos tales que las $2^k$ sumas $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{k}{\epsilon_i a_i}$ , $\epsilon_i\in\left\{0,1\right\}$ son distintas. a) Demuestre que $ \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_k}\le2(1-2^{-k}) $ ; b) Encuentre las secuencias $(a_1,a_2,...,a_k)$ para las cuales se cumple la igualdad.

Sea $S > 1$ un número real. El plano cartesiano se divide en rectángulos cuyos lados son paralelos a los ejes del sistema de coordenadas y cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Demuestre que si el área de cada triángulo es como máximo $S$ , entonces para cualquier entero positivo $k$ existen $k$ vértices de estos rectángulos que se encuentran en una línea.

Sean $x_1,x_2,...,x_n$ números reales con $1 \ge x_1 \ge x_2\ge ... \ge x_n \ge 0$ y $x_1^2 +x_2^2+...+x_n^2= 1$ . Si $[x_1 +x_2 +...+x_n] = m$ , demuestre que $x_1 +x_2 +...+x_m \ge 1$ .

Sea $ABCD$ un tetraedro; $B', C', D'$ los puntos medios de los lados $AB, AC, AD$ ; $G_A, G_B, G_C, G_D$ los baricentros de los triángulos $BCD, ACD, ABD, ABC$ , y $G$ el baricentro del tetraedro. Demuestre que $A, G, G_B, G_C, G_D$ están todos en una esfera si y sólo si $A, G, B', C', D'$ también están en una esfera.

Para un entero positivo $a$ , defina la secuencia ( $x_n$ ) por $x_1 = x_2 = 1$ y $x_{n+2 }= (a^4 +4a^2 +2)x_{n+1} -x_n -2a^2$ , para n $\ge 1$ . Demuestre que $x_n$ es un cuadrado perfecto y que para $n > 2$ su raíz cuadrada es igual a la primera entrada en la matriz $\begin{pmatrix}\na^2+1 & a \na & 1 \n\end{pmatrix}^{n-2}$

Suponga que $ f : N \to N$ es una función creciente tal que $f(f(n)) = 3n$ para toda $n$ . Encuentre $f(1992)$ .

Un conjunto $S=\{ s_1,s_2,...,s_k\}$ de números reales positivos es 'poligonal' si $k\geq 3$ y hay un $k-$ gono planar no degenerado cuyas longitudes de los lados son exactamente $s_1,s_2,...,s_k$ ; el conjunto $S$ es multipoligonal si en cada partición de $S$ en dos subconjuntos, cada uno de los cuales tiene al menos tres elementos, exactamente uno de estos dos subconjuntos es poligonal. Fija un entero $n\geq 7$ . (a) ¿Existe un conjunto multipoligonal de $n-$ elementos, cuya eliminación del elemento maximal deja un conjunto multipoligonal? (b) ¿Es posible que cada subconjunto de $(n-1)-$ elementos de un conjunto de $n-$ elementos de números reales positivos sea multipoligonal?