Para el número natural $n$ definimos \[ a_n = \{ \sqrt{n} \} - \{ \sqrt{n + 1} \} + \{ \sqrt{n + 2} \} - \{ \sqrt{n + 3} \}. \] a) Demostrar que $a_1 > 0,2$ . b) Demostrar que $a_n < 0$ para infinitos valores de $n$ y $a_n > 0$ para infinitos valores de números naturales de $n$ también. ( Denotamos por $\{ x \} $ la parte fraccionaria de $x.$ )

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y $\angle ACB = 54^{\circ}.$ Construimos la bisectriz $BD (D \in AC)$ del ángulo $ABC$ y consideramos el punto $E \in (BD)$ tal que $DE = DC.$ Demostrar que $BE = 2 \cdot AD.$

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales el número \[ N = \frac{1}{n \cdot (n + 1)} \] puede ser representado como una fracción decimal finita.

Determinar todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros que satisfacen simultáneamente las siguientes relaciones: \n\t\begin{align*} \n\t a^2 + a = b + c, \\ b^2 + b = a + c, \\ c^2 + c = a + b. \n\t\end{align*}

Determinar todas las secuencias de razones iguales de la forma \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a_3}{a_4} = \frac{a_5}{a_6} = \frac{a_7}{a_8} \] que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: $\bullet$ El conjunto $\{ a_1, a_2, \ldots , a_8 \}$ representa todos los divisores positivos de $24$. $\bullet$ El valor común de las razones es un número natural.

Decimos que un número $n \ge 2$ tiene la propiedad $(P)$ si, en su factorización prima, al menos uno de los factores tiene un exponente $3$. a) Determinar el menor número $N$ con la propiedad de que, no importa cómo elijamos $N$ números naturales consecutivos, al menos uno de ellos tiene la propiedad $(P).$ b) Determinar los $15$ números consecutivos más pequeños $a_1, a_2, \ldots, a_{15}$ que no tienen la propiedad $(P),$ tales que la suma de los números $5 a_1, 5 a_2, \ldots, 5 a_{15}$ es un número con la propiedad $(P).$

Determinar todos los números naturales $m$ y $n$ tales que \[ n \cdot (n + 1) = 3^m + s(n) + 1182, \] donde $s(n)$ representa la suma de los dígitos del número natural $n$.

Decimos que un número natural se llama especial si todos sus dígitos son distintos de cero y dos dígitos adyacentes cualesquiera en su representación decimal son consecutivos (no necesariamente en orden ascendente). a) Determinar el mayor número especial $m$ cuya suma de dígitos es igual a $2023$. b) Determinar el menor número especial $n$ cuya suma de dígitos es igual a $2022$.

El número natural no nulo n es un cuadrado perfecto. Al dividir $2023$ por $n$, obtenemos el resto $223- \frac{3}{2} \cdot n$. Encuentra el cociente de la división.

En un grupo de $n$ personas, (i) cada persona conoce exactamente a $k$ otros, (ii) dos personas cualesquiera que se conocen tienen exactamente $l$ conocidos comunes, (iii) dos personas cualesquiera que no se conocen tienen exactamente $m$ conocidos comunes. Demuestre que $m(n-k -1) = k(k -l -1)$.