Sea $n \geq 2$ un número natural. Consideramos una tabla de $(2n - 1) \times (2n - 1)$. Ana y Bob juegan el siguiente juego: comenzando con Ana, los dos colorean alternativamente los vértices de los cuadrados unitarios, Ana con rojo y Bob con azul, en $2n^2$ rondas. Luego, comenzando con Ana, cada uno forma un vector con origen en un punto rojo y terminando en un punto azul, lo que resulta en $2n^2$ vectores con orígenes y puntos finales distintos. Si la suma de estos vectores es cero, Ana gana. De lo contrario, Bob gana. Demostrar que Bob tiene una estrategia ganadora.

Determinar las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$ con la propiedad de que \[ f(f(x)) + y \cdot f(x) \le x + x \cdot f(f(y)), \] para todo $x$ e $y$ que son números reales.

Consideramos la ecuación $x^2 + (a + b - 1)x + ab - a - b = 0$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos con $a \leq b$ . a) Demostrar que la ecuación tiene $2$ soluciones reales distintas. b) Probar que si una de las soluciones es un entero, entonces ambas soluciones son enteros no positivos y $b < 2a.$

Sea $ABCD$ un tetraedro y $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $BD$ , respectivamente. Demostrar que para cada punto $P \in (MN)$ con $P \neq M$ y $P \neq N$ , existen puntos únicos $X$ e $Y$ en los segmentos $AB$ y $CD$ , respectivamente, tales que $X,P,Y$ son colineales.

Decimos que un número natural $n$ es interesante si puede ser escrito en la forma \[ n = \left\lfloor \frac{1}{a} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1}{b} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1}{c} \right\rfloor, \] donde $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a + b + c = 1.$ Determinar todos los números interesantes. ( $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero no mayor que $x$ . )

Demostrar que: a) Hay infinitos pares $(x,y)$ de números reales del intervalo $[0,\sqrt{3}]$ que satisfacen la ecuación $x\sqrt{3-y^2}+y\sqrt{3-x^2}=3$ . b) No existen pares $(x,y)$ de números racionales del intervalo $[0,\sqrt{3}]$ que satisfacen la ecuación $x\sqrt{3-y^2}+y\sqrt{3-x^2}=3$ .

Consideramos números reales positivos $a,b,c$ tales que $a + b + c = 3.$ Demostrar que $a^2 + b^2 + c^2 + a^2b + b^2 c + c^2 a \ge 6.$

a) Demostrar que existen números irracionales $a$ , $b$ , y $c$ tales que los números $a+b\cdot c$ , $b+a\cdot c$ , y $c+a\cdot b$ son números racionales. b) Demostrar que si $a$ , $b$ , y $c$ son números reales tales que $a+b+c=1$ , y los números $a+b\cdot c$ , $b+a\cdot c$ , y $c+a\cdot b$ son racionales y distintos de cero, entonces $a$ , $b$ , y $c$ son números racionales.

Consideramos el triángulo $ABC$ con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y $\angle ABC = 60^{\circ}.$ Sea $ D \in (AC) , E \in (AB),$ tal que $CD = 2 \cdot DA$ y $DE $ es bisectriz de $\angle ADB.$ Denotamos por $M$ la intersección de $CE$ y $BD$ , y por $P$ la intersección de $DE$ y $AM$ . a) Demostrar que $AM \perp BD$ . b) Demostrar que $3 \cdot PB = 2 \cdot CM$ .

En el paralelogramo $ABCD$ , $AC \cap BD = \{ O \}$ , y $M$ es el punto medio de $AB$ . Sea $P \in (OC)$ y $MP \cap BC = \{ Q \}$ . Dibujamos una línea paralela a $MP$ desde $O$ , que interseca la línea $CD$ en el punto $N$ . Demostrar que $A,N,Q$ son colineales si y solo si $P$ es el punto medio de $OC$ .