Sea $(G, \cdot)$ un grupo finito con orden $n \in \mathbb{N}^{*},$ donde $n \geq 2.$ Diremos que el grupo $(G, \cdot)$ es ordenable si existe una ordenación de sus elementos, tal que \[ G = \{ a_1, a_2, \ldots, a_k, \ldots , a_n \} = \{ a_1 \cdot a_2, a_2 \cdot a_3, \ldots, a_k \cdot a_{k + 1}, \ldots , a_{n} \cdot a_1 \}. \] a) Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales el grupo $(Z_n, +)$ es ordenable. b) Dar un ejemplo de un grupo de orden par que es ordenable.

Consideramos una función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ para la cual existe una función diferenciable $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y existe una secuencia $(a_n)_{n \geq 1}$ de números reales positivos, convergente a $0,$ tal que \[ g'(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x + a_n) - f(x)}{a_n}, \forall x \in \mathbb{R}. \] a) Dar un ejemplo de tal función f que no es diferenciable en ningún punto $x \in \mathbb{R}.$ b) Demostrar que si $f$ es continua en $\mathbb{R}$ , entonces $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}.$

Sea $n$ un número natural $n \geq 2$ y matrices $A,B \in M_{n}(\mathbb{C}),$ con la propiedad $A^2 B = A.$ a) Demostrar que $(AB - BA)^2 = O_{n}.$ b) Demostrar que para todo número natural $k$ , $k \leq \frac{n}{2}$ existen matrices $A,B \in M_{n}(\mathbb{C})$ con la propiedad establecida en el problema tales que $rank(AB - BA) = k.$

Sean $A,B \in M_{n}(\mathbb{R}).$ Demostrar que $rank(A) = rank(B)$ si y solo si existen matrices no singulares $X,Y,Z \in M_{n}(\mathbb{R})$ tales que \[ AX + YB = AZB. \]

Determinar las funciones dos veces diferenciables $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que verifican la relación \[ \left( f'(x) \right)^2 + f''(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}. \]

En un museo de arte, se exhiben $n$ pinturas, donde $n \geq 33.$ En total, se utilizan $15$ colores para estas pinturas, de modo que dos pinturas cualesquiera tienen al menos un color en común, y no dos pinturas tienen exactamente los mismos colores. Determinar todos los valores posibles de $n \geq 33$ tales que, independientemente de cómo coloreemos las pinturas con las propiedades dadas, podemos elegir cuatro pinturas distintas, que podemos etiquetar como $T_1, T_2, T_3,$ y $T_4,$ tales que cualquier color que se utilice tanto en $T_1$ como en $T_2$ también se puede encontrar en $T_3$ o $T_4$ .

Consideramos el triángulo $ABC$ y los puntos variables $M$ en la semirrecta $BC$ , $N$ en la semirrecta $CA$ , y $P$ en la semirrecta $AB$ , cada uno comienza simultáneamente desde $B,C$ y respectivamente $A$ , moviéndose con velocidades constantes $ v_1, v_2, v_3 > 0 $ , donde $v_1$ , $v_2$ , y $v_3$ se expresan en la misma unidad de medida. a) Dado que existen tres momentos distintos en los que el triángulo $MNP$ es equilátero, demostrar que el triángulo $ABC$ es equilátero y que $v_1 = v_2 = v_3$ . b) Demostrar que si $v_1 = v_2 = v_3$ y existe un momento en el que el triángulo $MNP$ es equilátero, entonces el triángulo $ABC$ también es equilátero.

Determinar el mayor número natural $k$ tal que existe un número natural $n$ que satisface: \[ \sin(n + 1) < \sin(n + 2) < \sin(n + 3) < \ldots < \sin(n + k). \]

Resolver la siguiente ecuación para valores reales de $x$ : \[ 2 \left( 5^x + 6^x - 3^x \right) = 7^x + 9^x. \]

Sean $r$ y $s$ números reales en el intervalo $[1, \infty)$ tales que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ con $a \mid b \implies \left\lfloor ar \right\rfloor$ divide a $\left\lfloor bs \right\rfloor$ . a) Demostrar que $\frac{s}{r}$ es un número natural. b) Demostrar que tanto $r$ como $s$ son números naturales. Aquí, $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x$ .