Sean $a,b,c>0$ tales que $a \geq bc^2$, $b \geq ca^2$ y $c \geq ab^2$. Encontrar el valor máximo que la expresión : $$E=abc(a-bc^2)(b-ca^2)(c-ab^2)$$ puede alcanzar.

Encontrar todos los enteros positivos $N$ con un número par de dígitos con la propiedad de que si multiplicamos los dos números formados al cortar el número por la mitad obtenemos un número que es un divisor de $N$ (por ejemplo, $12$ funciona porque $1 \cdot 2$ divide a $12$).

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con diagonales no perpendiculares y con los lados $AB$ y $CD$ no paralelos. Denotemos por $O$ la intersección de las diagonales, $H_1$ el ortocentro del triángulo $AOB$ y $H_2$ el ortocentro del triángulo $COD$. Denotemos también con $M$ el punto medio del lado $AB$ y con $N$ el punto medio del lado $CD$. Demostrar que $H_1H_2$ y $MN$ son paralelos si y sólo si $AC=BD$

Resolver en enteros no negativos la siguiente ecuación : $$21^x+4^y=z^2$$

Sean $x$, $y$, $z>0$. Demostrar que : $$\frac{x^3}{z^3+x^2y}+\frac{y^3}{x^3+y^2z}+\frac{z^3}{y^3+z^2x} \geq \frac{3}{2}$$

Encontrar el entero positivo más pequeño $n$ tal que si coloreamos de rojo $n$ vértices arbitrarios del cubo, habrá un vértice del cubo que tenga los tres vértices adyacentes a él coloreados de rojo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$. Sea también $M$ el punto medio del lado $BC$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, $O_1$ el punto medio del segmento $AH$ y $O_2$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $BCH$. Demostrar que $O_1AMO_2$ es un paralelogramo.

Sea $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ una función no decreciente, $f \in C^1,$ para la cual $f(0) = 0.$ Sea $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida por \[ g(x) = f(x) + (x - 1) f'(x), \forall x \in [0,1]. \] a) Demostrar que \[ \int_{0}^{1} g(x) \text{dx} = 0. \] b) Demostrar que para todas las funciones $\phi :[0,1] \rightarrow [0,1],$ convexas y diferenciables con $\phi(0) = 0$ y $\phi(1) = 1,$ se cumple la desigualdad \[ \int_{0}^{1} g( \phi(t)) \text{dt} \leq 0. \]

Sean $a,b \in \mathbb{R}$ con $a < b,$ 2 números reales. Decimos que $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ tiene la propiedad $(P)$ si existe una función integrable en $[a,b]$ con la propiedad de que \[ f(x) - f \left( \frac{x + a}{2} \right) = f \left( \frac{x + b}{2} \right) - f(x) , \forall x \in [a,b]. \] Demostrar que para todo número real $t$ existe una función única $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ con la propiedad $(P),$ tal que $\int_{a}^{b} f(x) \text{dx} = t.$

Sea $p$ un número primo, $n$ un número natural que no es divisible por $p$ , y $\mathbb{K}$ un campo finito, con $char(K) = p, |K| = p^n, 1_{\mathbb{K}}$ elemento unidad y $\widehat{0} = 0_{\mathbb{K}}.$ Para cada $m \in \mathbb{N}^{*}$ notamos $ \widehat{m} = \underbrace{1_{\mathbb{K}} + 1_{\mathbb{K}} + \ldots + 1_{\mathbb{K}}}_{m \text{ veces}} $ y definimos el polinomio \[ f_m = \sum_{k = 0}^{m} (-1)^{m - k} \widehat{\binom{m}{k}} X^{p^k} \in \mathbb{K}[X]. \] a) Demostrar que las raíces de $f_1$ son $ \left\{ \widehat{k} | k \in \{0,1,2, \ldots , p - 1 \} \right\}$ . b) Sea $m \in \mathbb{N}^{*}.$ Determinar el conjunto de raíces de $\mathbb{K}$ del polinomio $f_{m}.$