Tenemos $n$ enteros $a_1, a_2,. . . , a_n$ , no necesariamente distintos, con suma $2S.$ Un entero $k$ se llama separador si $k$ de los números se pueden elegir con suma igual a $S.$ ¿Cuál es el número máximo posible de separadores?

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \ne AC$ y $ I$ su incentro. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ y $D$ la proyección de $I$ sobre $BC.$ La recta $AI$ interseca la circunferencia con centro $M$ y radio $MD$ en $P$ y $Q.$ Demostrar que $\angle BAC + \angle PMQ = 180^{\circ}.$

Resolver en $\Bbb{N}^*$ la ecuación $$ 4^a \cdot 5^b - 3^c \cdot 11^d = 1.$$

Sea $n\in \Bbb{N}, n \geq 4.$ Determine todos los conjuntos $ A = \{a_1, a_2, . . . , a_n\} \subset \Bbb{N}$ que contienen $2015$ y que tienen la propiedad de que $ |a_i - a_j|$ es primo, para todos los distintos $i, j\in \{1, 2, . . . , n\}.$

Los vértices de un $n$-gono regular están inicialmente marcados con uno de los signos $+$ o $-$. Un movimiento consiste en elegir tres vértices consecutivos y cambiar los signos de los vértices, de $+$ a $-$ y de $-$ a $+$. a) Demostrar que si $n=2015$ entonces para cualquier configuración inicial de signos, existe una secuencia de movimientos tal que llegaremos a una configuración con sólo signos $+$. b) Demostrar que si $n=2016$, entonces existe una configuración inicial de signos tal que no importa cómo hagamos los movimientos, nunca llegaremos a una configuración con sólo signos $+$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AB \neq AC$ y denotemos su ortocentro por $H$. El punto $D$ está situado en el lado $BC$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $ACD$ intersecan por segunda vez las líneas $AC$, respectivamente $AB$ en los puntos $E$ respectivamente $F$. Si denotamos por $P$ el punto de intersección de $BE$ y $CF$ entonces demostrar que $HP \parallel BC$ si y sólo si $AD$ pasa por el circuncentro del triángulo $ABC$.

Encontrar todas las ternas de números reales $(x , y , z)$ tales que : $y=\frac{x^3+12x}{3x^2+4}$ , $z=\frac{y^3+12y}{3y^2+4}$ , $x=\frac{z^3+12z}{3z^2+4}$

Definir el conjunto $M_q=\{x \in \mathbb{Q} \mid x^3-2015x=q \}$, donde $q$ es un número racional arbitrario. a) Demostrar que existen valores para $q$ tales que el conjunto es nulo, así como valores para los que tiene exactamente un elemento. b) Determinar todos los valores posibles para la cardinalidad de $M_q$

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq BC$ y sea $BD$ la bisectriz interior de $\angle ABC$ con $D \in AC$. Sea $M$ el punto medio del arco $AC$ que contiene el punto $B$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. La circunferencia circunscrita del triángulo $BDM$ interseca el segmento $AB$ en $K \neq B$. Denotemos por $J$ el simétrico de $A$ con respecto a $K$. Si $DJ$ interseca a $AM$ en $O$ entonces demostrar que $J,B,M,O$ son concíclicos.

¿Podemos particionar los enteros positivos en dos conjuntos de manera que ninguno de los conjuntos contenga una progresión aritmética infinita de razón no nula?