Sea $ABCD$ cualquier cuadrilátero convexo y sean $P, Q, R, S$ puntos en los segmentos $AB, BC, CD$ , y $DA$ , respectivamente. Se da que los segmentos $PR$ y $QS$ disecan $ABCD$ en cuatro cuadriláteros, cada uno de los cuales tiene diagonales perpendiculares. Mostrar que los puntos $P, Q, R, S$ son concíclicos.

Fijar un entero $n \geq 2$ . Un tamiz de $n\times n$ es un arreglo de $n\times n$ con $n$ celdas removidas de manera que exactamente una celda es removida de cada fila y cada columna. Un palo es un arreglo de $1\times k$ o $k\times 1$ para cualquier entero positivo $k$ . Para cualquier tamiz $A$ , sea $m(A)$ el número mínimo de palos requeridos para particionar $A$ . Encontrar todos los posibles valores de $m(A)$ , mientras $A$ varía sobre todos los posibles tamices de $n\times n$.

En el plano Cartesiano, sean $G_1$ y $G_2$ las gráficas de las funciones cuadráticas $f_1(x) = p_1x^2 + q_1x + r_1$ y $f_2(x) = p_2x^2 + q_2x + r_2$ , donde $p_1 > 0 > p_2$ . Las gráficas $G_1$ y $G_2$ se cruzan en puntos distintos $A$ y $B$ . Las cuatro tangentes a $G_1$ y $G_2$ en $A$ y $B$ forman un cuadrilátero convexo el cual tiene un círculo inscrito. Probar que las gráficas $G_1$ y $G_2$ tienen el mismo eje de simetría.

Sea $n$ un entero mayor que $1$ y sea $X$ un conjunto de $n$ elementos. Una colección no vacía de subconjuntos $A_1, ..., A_k$ de $X$ es ajustada si la unión $A_1 \cup \cdots \cup A_k$ es un subconjunto propio de $X$ y ningún elemento de $X$ está en exactamente uno de los $A_i$s . Encontrar la mayor cardinalidad de una colección de subconjuntos propios no vacíos de $X$ , ninguna subcolección no vacía de la cual es ajustada. Nota . Un subconjunto $A$ de $X$ es propio si $A\neq X$ . Se asume que los conjuntos en una colección son distintos. Se asume que la colección completa es una subcolección.

Determinar todos los enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: para cada polinomio mónico $P$ de grado a lo sumo $n$ con coeficientes enteros, existe un entero positivo $k\le n$ y $k+1$ enteros distintos $x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}$ tales que\n\[P(x_1)+P(x_2)+\cdots +P(x_k)=P(x_{k+1})\] .\nNota. Un polinomio es mónico si el coeficiente de la potencia más alta es uno.

Probar que todo entero positivo $n$ puede ser escrito de forma única como\n\[n=\sum_{j=1}^{2k+1}(-1)^{j-1}2^{m_j},\]\ndonde $k\geq 0$ y $0\le m_1<m_2\cdots <m_{2k+1}$ son enteros. Este número $k$ es llamado el peso de $n$. (b) Encontrar (en forma cerrada) la diferencia entre el número de enteros positivos a lo sumo $2^{2017}$ con peso par y el número de enteros positivos a lo sumo $2^{2017}$ con peso impar.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ y $P$ un punto en su interior. Las rectas $AP,BP$ y $CP$ intersecan la circunferencia $\omega$ por segunda vez en $D,E$ y $F,$ respectivamente. Si $A',B',C'$ son las reflexiones de $A,B,C$ con respecto a las rectas $EF,FD,DE,$ respectivamente, demostrar que los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ son similares.

Demostrar que si $a,b,c>0$ y $a+b+c=1,$ entonces $$\frac{bc+a+1}{a^2+1}+\frac{ca+b+1}{b^2+1}+\frac{ab+c+1}{c^2+1}\leq \frac{39}{10}$$

Dos jugadores, $A$ y $B,$ toman alternativamente piedras de un montón de $n \geq 2$ piedras. $A$ juega primero y en su primer movimiento debe tomar al menos una piedra y a lo sumo $n-1$ piedras. Entonces cada jugador debe tomar al menos una piedra y a lo sumo tantas piedras como su oponente tomó en el movimiento anterior. El jugador que toma la última piedra gana. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?

Demostrar que el número $1$ se puede representar como una suma de un número finito $n$ de números reales, menores que $1,$ no necesariamente distintos, que contienen en su representación decimal sólo los dígitos $0$ y/o $7.$ ¿Cuál es el menor número posible $n$ ?