Encontrar todos los naturales $n$ menores que 100 tales que los siguientes números son todos primos: $n+2$, $n+4$, $n+8$ y $n+16$.

Encontrar todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales es posible colocar un número entero del 1 al 19 (sin repetir) en cada hexágono de la figura, de manera que en cada uno de los vértices interiores (marcados con $\bullet$ en la figura) la suma de los tres números que queden en los hexágonos que contienen al vértice sea múltiplo de $n$. [image]

Dos círculos $C$ y $D$ se intersectan en los puntos $A$ y $B$. Una recta es tangente a ambos $C$ y $D$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente, y las rectas $CA$ y $CB$ intersectan nuevamente al círculo $D$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $G$ el otro punto (distinto de $C$) en que la recta $CD$ intersecta al circuncírculo de $CEF$. Probar que $D$ es el punto medio del segmento $CG$.

Encontrar todos los enteros $A \leq 120$ que tienen exactamente 4 divisores y tales que la suma de los divisores es un cuadrado.

En un torneo con $n \geq 3$ competidores cada uno jugó una vez contra cada uno de los demás. No hubo empates y ningún competidor le ganó a todos los demás. (a) Probar que hubo tres competidores $a$, $b$ y $c$ tales que $a$ le ganó a $b$, $b$ le ganó a $c$ y $c$ le ganó a $a$. (b) Para cada $n \geq 3$ dar un ejemplo en que sólo haya una terna de competidores \{$a,b,c\} con las condiciones del inciso anterior.

En una cuadrícula con $k$ renglones y 5 columnas (es decir, cada renglón está formado por 5 cuadritos) se escriben los números 1, 2, 3 y 4 de tal manera que en cada renglón aparecen exactamente dos de estos números y todos los renglones son distintos entre sí (por ejemplo un renglón podría ser (2,4,4,4,4) y otro distinto a él sería (4,4,2,4,4)). ¿Cuál es el mínimo valor de $k$ para el cual se puede asegurar que hay un rectángulo formado por las líneas de la cuadrícula en el que las cuatro esquinas tienen los 4 números?

En un paralelogramo $ABCD$, sean $L$, $M$ y $N$ los respectivos puntos medios de los lados $AB$, $BC$ y $CD$. Sean $P$ y $Q$ los puntos intersección de $AM$ con $DL$ y con $BN$, respectivamente. Probar que las áreas de los triángulos $APL$ y $BQM$ son iguales.

En un triángulo que tiene área 1, sea $M$ el producto del perímetro del triángulo con la suma de las tres alturas del mismo triángulo. Probar que $M > 12$.

Unas líneas rectas se dibujan en el plano de manera que entre los ángulos formados se encuentran todos los siguientes $10^\circ$, $20^\circ$, $30^\circ$, $40^\circ$, $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$. ¿Cuál es la menor cantidad posible de rectas?

En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.[image]