(a) Para cada entero $k\ge 3$ , encuentre un entero positivo $n$ que pueda ser representado como la suma de exactamente $k$ divisores positivos mutuamente distintos de $n$ . (b) Suponga que $n$ puede ser expresado como la suma de exactamente $k$ divisores positivos mutuamente distintos de $n$ para algún $k\ge 3$ . Sea $p$ el divisor primo más pequeño de $n$ . Demuestre que \[\frac1p+\frac1{p+1}+\cdots+\frac{1}{p+k-1}\ge1.\]

El punto $A_1$ en el perímetro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ es tal que la línea $AA_1$ divide el cuadrilátero en dos partes de igual área. Los puntos $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ se definen de forma similar. Demostrar que el área del cuadrilátero $A_1B_1C_1D_1$ es mayor que una cuarta parte del área de $ABCD$ .

Resolver la ecuación $p^2-pq-q^3=1$ en números primos.

Trinomios cuadráticos con coeficientes principales positivos están dispuestos en los cuadrados de una tabla de $6 \times 6$. Sus $108$ coeficientes son todos enteros de $-60$ a $47$ (cada número se usa una vez). Demostrar que al menos en una columna la suma de todos los trinomios tiene una raíz real.

Cada cara de un cubo de $7 \times 7 \times 7$ está dividida en cuadrados unitarios. ¿Cuál es el número máximo de cuadrados que se pueden elegir de modo que no haya dos cuadrados elegidos que tengan un punto en común?

Los vértices de un grafo conexo no pueden colorearse con menos de $n+1$ colores (de modo que los vértices adyacentes tengan colores diferentes). Demostrar que $\dfrac{n(n-1)}{2}$ aristas pueden ser eliminadas del grafo de modo que permanezca conexo.

Para cada número real positivo $a$ y $b$ demostrar la desigualdad \[\displaystyle \sqrt{ab} \leq \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\dfrac{2}{3} \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}.\]

$ABCDEF$ es un hexágono convexo, tal que en él $AC \parallel DF$ , $BD \parallel AE$ y $CE \parallel BF$ . Demostrar que \[AB^2+CD^2+EF^2=BC^2+DE^2+AF^2.\]

Hay $100$ montones de piedras sobre una mesa. Dos jugadores hacen movimientos alternativamente. En cada movimiento, un jugador puede quitar cualquier número no nulo de piedras de la mesa, de modo que al menos un montón quede intacto. El jugador que no puede mover pierde. Determinar, para cada posición inicial, cuál de los jugadores, el primero o el segundo, tiene una estrategia ganadora.

Cartas numeradas del 1 al $2^n$ se distribuyen entre $k$ niños, $1\leq k\leq 2^n$ , de modo que cada niño recibe al menos una carta. Demostrar que el número de maneras de hacer eso es divisible por $2^{k-1}$ pero no por $2^k$ .