Determinar el entero más grande $n\geq 3$ para el cual las aristas del grafo completo en $n$ vértices pueden ser asignadas con enteros no negativos, distintos por pares, tal que las aristas de cada triángulo tengan números que forman una progresión aritmética.

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función no decreciente tal que $f(y) - f(x) < y - x$ para todos los números reales $x$ e $y > x$ . La secuencia $u_1,u_2,\ldots$ de números reales es tal que $u_{n+2} = f(u_{n+1}) - f(u_n)$ para todo $n\geq 1$ . Demuestre que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe un entero positivo $N$ tal que $|u_n| < \varepsilon$ para todo $n\geq N$ .

Una baldosa $T$ es la unión de finitamente muchos arcos disjuntos dos a dos de un círculo unitario $K$ . El tamaño de $T$ , denotado por $|T|$ , es la suma de las longitudes de los arcos que componen $T$ , dividido por $2\pi$ . Una copia de $T$ es una baldosa $T'$ obtenida al rotar $T$ alrededor del centro de $K$ a través de algún ángulo. Dado un número real positivo $\varepsilon < 1$ , ¿existe una secuencia infinita de baldosas $T_1,T_2,\ldots,T_n,\ldots$ que satisfaga las siguientes dos condiciones simultáneamente: 1) $|T_n| > 1 - \varepsilon$ para todo $n$ ; 2) La unión de todas las $T_n'$ (cuando $n$ recorre los enteros positivos) es un subconjunto propio de $K$ para cualquier elección de las copias $T_1'$ , $T_2'$ , $\ldots$ , $T_n', \ldots$ ?

Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ enteros que satisfacen la siguiente condición: los números $x_1,\ldots,x_n$ son distintos dos a dos y para cada entero positivo $m$ existe un polinomio $P_m$ con coeficientes enteros tal que $P_m(x_i) - y_i$ , $i=1,\ldots,n$ , son todos divisibles por $m$ . Demuestre que existe un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que $P(x_i) = y_i$ para todo $i=1,\ldots,n$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ f(xy+f(x)) + f(y) = xf(y) + f(x+y) ] para todos los números reales $x$ e $y$ .

Una secuencia infinita $x_1,x_2,\ldots$ de enteros positivos satisface \[ x_{n+2}=\gcd(x_{n+1},x_n)+2006 \] para cada entero positivo $n$ . ¿Existe tal secuencia que contenga exactamente $10^{2006}$ números distintos?

Un número finito dado de líneas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes, divide el plano en regiones finitas e infinitas. En cada región finita escribimos $1$ o $-1$ . En una operación, podemos elegir cualquier triángulo formado por tres de las líneas (que pueden ser cortadas por otras líneas en la colección) y multiplicar por $-1$ cada uno de los números en el triángulo. Determine si siempre es posible obtener $1$ en todas las regiones finitas aplicando sucesivamente esta operación, independientemente de la distribución inicial de $1$ s y $-1$ s .

El triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ tiene circuncírculo $\Gamma$ , circuncentro $O$ , y ortocentro $H$ . El punto medio de $BC$ es $M$ , y la extensión de la mediana $AM$ interseca a $\Gamma$ en $N$ . El círculo de diámetro $AM$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $A$ y $P$ . Demuestre que las líneas $AP$ , $BC$ , y $OH$ son concurrentes si y solo si $AH = HN$ .

Los números $1, 2,\ldots, 2006$ están escritos alrededor de la circunferencia de un círculo. Un movimiento consiste en intercambiar dos números adyacentes. Después de una secuencia de tales movimientos, cada número termina $13$ posiciones a la derecha de su posición inicial. Si los números $1, 2,\ldots, 2006$ son particionados en $1003$ pares distintos, entonces demuestre que en al menos uno de los movimientos, los dos números de uno de los pares fueron intercambiados.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB = AD$ y $CB = CD$ . La bisectriz de $\angle BDC$ interseca a $BC$ en $L$ , y $AL$ interseca a $BD$ en $M$ , y se sabe que $BL = BM$ . Determine el valor de $2\angle BAD + 3\angle BCD$ .