La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de ago. de 2010, 1:15 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre un método mediante el cual se puedan calcular los coeficientes de $P(x) = x^6 + a_1x^5 + \cdots+ a_6$ a partir de las raíces de $P(x) = 0$ realizando no más de $15$ adiciones y $15$ multiplicaciones. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de mar. de 2010, 10:46 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Factorice $ 5^{1985}-1$ como un producto de tres enteros, cada uno mayor que $ 5^{100}$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 3:33 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Determine el radio de una esfera $S$ que pasa por los centroides de cada cara de un tetraedro dado $T$ inscrito en una esfera unitaria con centro $O$. Además, determine la distancia desde $O$ hasta el centro de $S$ como una función de las aristas de $T.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 21 de feb. de 2018, 5:53 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Gonçalo escribe en una pizarra cuatro de los siguientes números $0, 1, 2, 3, 4$, él puede repetir números. Nicolas puede realizar la siguiente operación: cambiar un número de la pizarra por el resto (en la división por $5$) del producto de otros dos números de la pizarra. Nicolas gana si los cuatro números son iguales, determine si Gonçalo puede elegir números tales que Nicolas nunca gane. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por mathisreal, 21 de feb. de 2018, 5:53 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 6:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $\Gamma_i, i = 0, 1, 2, \dots$ , círculos de radio $r_i$ inscritos en un ángulo de medida $2\alpha$ tales que cada $\Gamma_i$ es tangente externamente a $\Gamma_{i+1}$ y $r_{i+1} < r_i$ . Demuestre que la suma de las áreas de los círculos $\Gamma_i$ es igual al área de un círculo de radio $r =\frac 12 r_0 (\sqrt{ \sin \alpha} + \sqrt{\text{csc} \alpha}).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1950 publicaciones Assassino9931 #1 h 9 de mayo de 2025, 3:30 a. m. • 1 Y Y por NO_SQUARES En un círculo hay dispuestas $100$ cestas, cada una de las cuales contiene al menos un caramelo. El número total de caramelos es $780$. Asad y Sevinch realizan movimientos de forma alterna, comenzando Asad. En un movimiento, Asad toma todos los caramelos de $9$ cestas consecutivas no vacías, mientras que Sevinch toma todos los caramelos de una única cesta no vacía que tenga al menos una cesta vecina vacía. Demuestre que Asad puede tomar en total al menos $700$ caramelos, independientemente de la distribución inicial de los caramelos y de las acciones de Sevinch. Shubin Yakov, Rusia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Assassino9931, 9 de mayo de 2025, 5:15 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 7:16 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $A$ un conjunto de $n$ puntos en el espacio. De la familia de todos los segmentos con extremos en $A$, se han seleccionado $q$ segmentos y se han coloreado de amarillo. Suponga que todos los segmentos amarillos tienen longitudes diferentes. Demuestre que existe una línea poligonal compuesta por $m$ segmentos amarillos, donde $m \geq \frac{2q}{n}$, dispuestos en orden de longitud creciente. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1950 publicaciones Assassino9931 #1 h 9 de mayo de 2025, 3:28 a. m. Y por Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con \[\angle ADC = 90^\circ, \ \ \angle BCD = \angle ABC > 90^\circ, \mbox{ y } AB = 2CD.\] La recta que pasa por \(C\), paralela a \(AD\), interseca a la bisectriz del ángulo externo de \(\angle ABC\) en el punto \(T\). Demuestre que los ángulos $\angle ATB$, $\angle TBC$, $\angle BCD$, $\angle CDA$, $\angle DAT$ pueden dividirse en dos grupos, de tal manera que los ángulos en cada grupo sumen $270^{\circ}$. Miroslav Marinov, Bulgaria Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 30 de abril de 2023, 5:24 a. m. • 2 Y Y por AlperenINAN, Aliosman Inicialmente, Aslı distribuye $1000$ bolas en $30$ cajas como ella desee. Después de eso, Aslı y Zehra realizan movimientos alternados que consisten en tomar una bola de cualquier caja deseada, comenzando por Aslı. Quien tome la última bola de cualquier caja se queda con esa caja. ¿Cuál es el número máximo de cajas que Aslı puede garantizar quedarse para sí misma independientemente de los movimientos de Zehra? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 20 de abril de 2007, 6:25 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $S$ el conjunto de todas las particiones de $2000$ (en una suma de enteros positivos). Para cada una de dichas particiones $p$, definimos $f (p)$ como la suma del número de sumandos en $p$ y el sumando máximo en $p$. Calcule el mínimo de $f (p)$ cuando $p \in S .$ Z K Y