Los puntos $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ son los vértices de un tetraedro regular de longitud de arista $1$ . Los puntos $B_1$ y $B_2$ se encuentran dentro de la figura delimitada por el plano $A_1A_2A_3$ y las esferas de radio $1$ y centros $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ . Demostrar que $B_1B_2 < \max\{B_1A_1, B_1A_2, B_1A_3, B_1A_4\}$ .

Resolver la ecuación $p^2-pq-q^3=1$ en números primos.

Demostrar que todo polinomio de cuarto grado puede ser representado en la forma $P(Q(x))+R(S(x))$ , donde $P,Q,R,S$ son trinomios cuadráticos.

Demostrar que si $x$ , $y$ , $z$ son números reales positivos y $xyz = 1$ entonces \[\frac{x^3}{x^2+y}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+x}\geq \dfrac {3} {2}.\]

Los vértices de un grafo conexo no pueden colorearse con menos de $n+1$ colores (de modo que los vértices adyacentes tengan colores diferentes). Demostrar que $\dfrac{n(n-1)}{2}$ aristas pueden ser eliminadas del grafo de modo que permanezca conexo.

Los puntos $X$ e $Y$ dentro del rombo $ABCD$ son tales que $Y$ está dentro del cuadrilátero convexo $BXDC$ y $2\angle XBY = 2\angle XDY = \angle ABC$ . Demostrar que las líneas $AX$ y $CY$ son paralelas.

Hay $100$ montones de piedras sobre una mesa. Dos jugadores hacen movimientos alternativamente. En cada movimiento, un jugador puede quitar cualquier número no nulo de piedras de la mesa, de modo que al menos un montón quede intacto. El jugador que no puede mover pierde. Determinar, para cada posición inicial, cuál de los jugadores, el primero o el segundo, tiene una estrategia ganadora.

Considerar una colección de piedras cuyo peso total es de $65$ libras y cada una de cuyas piedras pesa como máximo $w$ libras. Hallar el mayor número $w$ para el cual cualquier colección de piedras puede ser dividida en dos grupos cuyos pesos totales difieren en a lo sumo una libra. Nota: Los pesos de las piedras no son necesariamente enteros.

En el triángulo $ABC$, donde $AB<AC$, sean $X$, $Y$, $Z$ los puntos donde la circunferencia inscrita es tangente a $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. En la circunferencia circunscrita de $ABC$, sea $U$ el punto medio del arco $BC$ que contiene al punto $A$. La línea $UX$ se encuentra con la circunferencia circunscrita nuevamente en el punto $K$. Sea $T$ el punto de intersección de $AK$ y $YZ$. Demostrar que $XT$ es perpendicular a $YZ$.

¿Se pueden particionar los enteros positivos en $12$ subconjuntos tales que para cada entero positivo $k$, los números $k, 2k,\ldots,12k$ pertenecen a diferentes subconjuntos?