Hallar todos los enteros $k\ge 2$ tales que para todo entero $n\ge 2$, $n$ no divide al mayor divisor impar de $k^n+1$.

En una línea, hay $n$ intervalos cerrados (ninguno de los cuales es un solo punto) cuya unión denotamos por $S$. Se sabe que para cada número real $d$, $0<d\le 1$, hay dos puntos en $S$ que están a una distancia $d$ uno del otro. (a) Mostrar que la suma de las longitudes de los $n$ intervalos cerrados es mayor que $\frac{1}{n}$. (b) Demostrar que, para cada entero positivo $n$, el $\frac{1}{n}$ en el enunciado de la parte (a) no puede ser reemplazado por un número mayor.

En cada casilla de un tablero de ajedrez con $a$ filas y $b$ columnas, se escribe un $0$ o un $1$ satisfaciendo las siguientes condiciones. Si una fila y una columna se intersecan en una casilla con un $0$, entonces esa fila y columna tienen el mismo número de $0$s. Si una fila y una columna se intersecan en una casilla con un $1$, entonces esa fila y columna tienen el mismo número de $1$s. Hallar todos los pares $(a,b)$ para los cuales esto es posible.

Demuestre que existe una $c$ positiva tal que para cada entero positivo $N$ entre cualquier $N$ enteros positivos que no excedan $2N$ hay dos números cuyo máximo común divisor es mayor que $cN$ .

Varios caballeros están dispuestos en un tablero de ajedrez infinito. Ningún cuadrado es atacado por más de un caballero (en particular, un cuadrado ocupado por un caballero puede ser atacado por un caballero pero no por dos). Sasha esbozó un rectángulo de $ 14\times 16$. ¿Qué número máximo de caballeros puede contener este rectángulo?

Se elige el punto $D$ en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ . El punto $L$ dentro del triángulo $ABC$ es tal que $BD=LD$ y $ \angle LAB=\angle LCA=\angle DCB$ . Se sabe que $ \angle ALD+\angle ABC=180^\circ$ . Demuestre que $ \angle BLC=90^\circ$ .

¿Qué número mínimo de colores es suficiente para colorear todos los números reales positivos de modo que cada dos números cuya razón es 4 u 8 tengan colores diferentes?

Determine el máximo real $k$ tal que exista un conjunto $X$ y sus subconjuntos $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $ ...$ , $Y_{31}$ que satisfagan las siguientes condiciones: (1) para cada dos elementos de $X$ existe un índice $i$ tal que $Y_{i}$ no contiene ninguno de estos elementos; (2) si se asignan números no negativos $ \alpha_{i}$ a los subconjuntos $Y_{i}$ y $ \alpha_{1}+\dots+\alpha_{31}=1$ entonces existe un elemento $x\in X$ tal que la suma de $ \alpha_{i}$ correspondiente a todos los subconjuntos $Y_{i}$ que contienen $x$ es al menos $k$ .

$AA_{1}$ , $BB_{1}$ , $CC_{1}$ son las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ . Un círculo que pasa por $A_{1}$ y $B_{1}$ toca el arco $AB$ de su circunferencia circunscrita en $C_{2}$ . Los puntos $A_{2}$ , $B_{2}$ se definen de manera similar. Demuestre que las líneas $AA_{2}$ , $BB_{2}$ , $CC_{2}$ son concurrentes.

Dos polinomios $f(x)=a_{100}x^{100}+a_{99}x^{99}+\dots+a_{1}x+a_{0}$ y $g(x)=b_{100}x^{100}+b_{99}x^{99}+\dots+b_{1}x+b_{0}$ de grado $100$ difieren entre sí por una permutación de coeficientes. Se sabe que $a_{i}\ne b_{i}$ para $i=0, 1, 2, \dots, 100$. ¿Es posible que $f(x)\geq g(x)$ para toda $x$ real?