Se dan enteros positivos $a<b$. Demuestre que entre cada $b$ enteros positivos consecutivos hay dos números cuyo producto es divisible por $ab$.

Sea $n$ un entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero de $n \times n$ que contiene todos los enteros de $1$ a $n^2$ de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes se consideran adyacentes si comparten un lado común. Cada celda que es adyacente solo a celdas que contienen números más grandes se llama valle. Un camino cuesta arriba es una secuencia de una o más celdas tales que: (i) la primera celda en la secuencia es un valle, (ii) cada celda subsiguiente en la secuencia es adyacente a la celda anterior, y (iii) los números escritos en las celdas en la secuencia están en orden creciente. Encuentra, como una función de $n$, el número total más pequeño posible de caminos cuesta arriba en un cuadrado nórdico.

Encuentra todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC=DE$. Asuma que hay un punto $T$ dentro de $ABCDE$ con $TB=TD,TC=TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. Sea la línea $AB$ interseca las líneas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Asuma que los puntos $P,B,A,Q$ ocurren en su línea en ese orden. Sea la línea $AE$ interseca $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Asuma que los puntos $R,E,A,S$ ocurren en su línea en ese orden. Demuestra que los puntos $P,S,Q,R$ se encuentran en un círculo.

Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demuestra que hay a lo sumo una forma (salvo rotación y reflexión) de colocar los elementos de $S$ alrededor del círculo de tal manera que el producto de dos vecinos cualesquiera sea de la forma $x^2+x+k$ para algún entero positivo $x$.

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para cada $x \in \mathbb{R}^+$, hay exactamente un $y \in \mathbb{R}^+$ que satisface $$xf(y)+yf(x) \leq 2$$

El Banco de Oslo emite dos tipos de monedas: aluminio (denotada A) y bronce (denotada B). Marianne tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce dispuestas en una fila en algún orden inicial arbitrario. Una cadena es cualquier subsecuencia de monedas consecutivas del mismo tipo. Dado un entero positivo fijo $k \leq 2n$, Gilberty realiza repetidamente la siguiente operación: identifica la cadena más larga que contiene la $k^{th}$ moneda desde la izquierda y mueve todas las monedas de esa cadena al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso que comienza desde el ordenamiento $AABBBABA$ sería $AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...$ Encuentra todos los pares $(n,k)$ con $1 \leq k \leq 2n$ tales que para cada ordenamiento inicial, en algún momento durante el proceso, las $n$ monedas de la izquierda serán todas del mismo tipo.

Sea $p$ un número primo impar y $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Suponga que una función $f:\mathbb{Z}_{>0}\times\mathbb{Z}_{>0}\to\{0,1\}$ satisface las siguientes propiedades: $f(1,1)=0$ . $f(a,b)+f(b,a)=1$ para cualquier par de enteros positivos relativamente primos $(a,b)$ no ambos iguales a 1; $f(a+b,b)=f(a,b)$ para cualquier par de enteros positivos relativamente primos $(a,b)$ . Demuestre que $$\sum_{n=1}^{p-1}f(n^2,p) \geqslant \sqrt{2p}-2.$

Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$ . Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demuestre que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1, \ldots , a_n$ tales que, para cada $(x, y)$ en $S$ , tenemos: $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ o demuestra que no existe tal $n$ , con la siguiente propiedad: hay infinitas $n$ -tuplas distintas de números racionales positivos $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ tales que tanto $$a_1+a_2+\dots +a_n \quad \text{y} \quad \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$$ son enteros.