Encuentra todos los pares $(p,q)$ de números primos con $p>q$ tales que $$\frac{(p+q)^{p+q}(p-q)^{p-q}-1}{(p+q)^{p-q}(p-q)^{p+q}-1}$$ es un entero.

Llamamos corto a un número racional si tiene un número finito de dígitos en su expansión decimal. Para un entero positivo $m$ , decimos que un entero positivo $t$ es $m-$tástico si existe un número $c\in \{1,2,3,\ldots ,2017\}$ tal que $\dfrac{10^t-1}{c\cdot m}$ es corto, y tal que $\dfrac{10^k-1}{c\cdot m}$ no es corto para ningún $1\le k<t$ . Sea $S(m)$ el conjunto de números $m-$tásticos. Considere $S(m)$ para $m=1,2,\ldots{}.$ ¿Cuál es el número máximo de elementos en $S(m)$ ?

Determinar todos los enteros $ n\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera enteros $a_1,a_2,\ldots, a_n$ cuya suma no es divisible por $n$ , existe un índice $1 \leq i \leq n$ tal que ninguno de los números $$a_i,a_i+a_{i+1},\ldots,a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+n-1}$$ es divisible por $n$ . Aquí, definimos $a_i=a_{i-n}$ cuando $i >n$ .

Sea $ABCC_1B_1A_1$ un hexágono convexo tal que $AB=BC$, y suponga que los segmentos de línea $AA_1, BB_1$ y $CC_1$ tienen la misma bisectriz perpendicular. Sean las diagonales $AC_1$ y $A_1C$ se encuentran en $D$, y denotemos por $\omega$ el círculo $ABC$. Sea $\omega$ intersecta al círculo $A_1BC_1$ nuevamente en $E \neq B$. Demuestra que las líneas $BB_1$ y $DE$ se intersecan en $\omega$.

En el triángulo $ABC$, sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. El círculo $AEF$ interseca la línea $BC$ en $P$ y $Q$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. Demuestra que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La línea $OA$ interseca las altitudes de $ABC$ a través de $B$ y $C$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Las altitudes se encuentran en $H$. Demuestra que el circuncentro del triángulo $PQH$ se encuentra en una mediana del triángulo $ABC$.

Sea $ p \geq 2$ un número primo. Eduardo y Fernando juegan el siguiente juego haciendo movimientos alternativamente: en cada movimiento, el jugador actual elige un índice $i$ en el conjunto $\{0,1,2,\ldots, p-1 \}$ que no fue elegido antes por ninguno de los dos jugadores y luego elige un elemento $a_i$ del conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . Eduardo tiene el primer movimiento. El juego termina después de que todos los índices han sido elegidos .Luego se calcula el siguiente número: $$M=a_0+a_110+a_210^2+\cdots+a_{p-1}10^{p-1}= \sum_{i=0}^{p-1}a_i.10^i$$ . El objetivo de Eduardo es hacer que $M$ sea divisible por $p$ , y el objetivo de Fernando es evitar esto. Demuestre que Eduardo tiene una estrategia ganadora.

Para cada entero $a_0 > 1$ , defina la secuencia $a_0, a_1, a_2, \ldots$ para $n \geq 0$ como $$a_{n+1} = \n\begin{cases}\n\sqrt{a_n} & \text{si } \sqrt{a_n} \text{ es un entero,} \\\na_n + 3 & \text{en caso contrario.}\n\end{cases}\n$$ Determine todos los valores de $a_0$ tales que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$ .

Hay $2017$ círculos mutuamente externos dibujados en una pizarra, de modo que no hay dos tangentes y no tres comparten una tangente común. Un segmento tangente es un segmento de línea que es una tangente común a dos círculos, comenzando en un punto tangente y terminando en el otro. Luciano está dibujando segmentos tangentes en la pizarra, uno a la vez, de modo que ningún segmento tangente interseca a ningún otro círculo o segmentos tangentes dibujados previamente. Luciano sigue dibujando segmentos tangentes hasta que no se puedan dibujar más. Encuentre todos los números posibles de segmentos tangentes cuando Luciano deja de dibujar.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene un círculo inscrito con centro $I$ . Sean $I_a, I_b, I_c$ e $I_d$ los incentros de los triángulos $DAB, ABC, BCD$ y $CDA$ , respectivamente. Suponga que las tangentes externas comunes de los círculos $AI_bI_d$ y $CI_bI_d$ se encuentran en $X$ , y las tangentes externas comunes de los círculos $BI_aI_c$ y $DI_aI_c$ se encuentran en $Y$ . Demuestre que $\angle{XIY}=90^{\circ}$ .