Sea $n\ge3$ un entero. Dos $n$-gonos regulares $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ se dan en el plano. Demuestra que los vértices de $\mathcal{A}$ que se encuentran dentro de $\mathcal{B}$ o en su frontera son consecutivos. (Es decir, demuestra que existe una línea que separa aquellos vértices de $\mathcal{A}$ que se encuentran dentro de $\mathcal{B}$ o en su frontera de los otros vértices de $\mathcal{A}$.)

Un cazador y un conejo invisible juegan un juego en el plano euclidiano. El punto de partida del conejo, $A_0,$ y el punto de partida del cazador, $B_0$ son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo está en el punto $A_{n-1}$ y el cazador está en el punto $B_{n-1}.$ En la $n^{\text{th}}$ ronda del juego, tres cosas ocurren en orden: \n\t El conejo se mueve invisiblemente a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n-1}$ y $A_n$ es exactamente $1.$ \n\t Un dispositivo de rastreo informa un punto $P_n$ al cazador. La única garantía proporcionada por el dispositivo de rastreo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es como máximo $1.$ \n\t El cazador se mueve visiblemente a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente $1.$ \n\t ¿Siempre es posible, sin importar cómo se mueva el conejo y sin importar qué puntos informe el dispositivo de rastreo, que el cazador elija sus movimientos para que después de $10^9$ rondas, pueda asegurarse de que la distancia entre ella y el conejo sea como máximo $100?$

Se da un entero $N \ge 2$. Una colección de $N(N + 1)$ jugadores de fútbol, ​​ninguno de los cuales tiene la misma altura, se colocan en una fila. Sir Alex quiere eliminar $N(N - 1)$ jugadores de esta fila dejando una nueva fila de $2N$ jugadores en la que se cumplen las siguientes $N$ condiciones: \n\t ( $1$ ) nadie se interpone entre los dos jugadores más altos, \n\t ( $2$ ) nadie se interpone entre el tercer y cuarto jugador más alto, \n\t $\vdots$ \n\t ( $N$ ) nadie se interpone entre los dos jugadores más bajos. \n\t Demuestra que esto siempre es posible.

Sir Alex juega el siguiente juego en una fila de 9 celdas. Inicialmente, todas las celdas están vacías. En cada movimiento, Sir Alex puede realizar exactamente una de las dos operaciones siguientes: \n\t Elegir cualquier número de la forma $2^j$, donde $j$ es un entero no negativo, y ponerlo en una celda vacía. \n\t Elegir dos celdas (no necesariamente adyacentes) con el mismo número en ellas; denotar ese número por $2^j$. Reemplazar el número en una de las celdas con $2^{j+1}$ y borrar el número en la otra celda. \n\t Al final del juego, una celda contiene $2^n$, donde $n$ es un entero positivo dado, mientras que las otras celdas están vacías. \n\t Determina el número máximo de movimientos que Sir Alex podría haber hecho, en términos de $n$.

Sea $n$ un entero positivo. Define un camaleón como cualquier secuencia de $3n$ letras, con exactamente $n$ apariciones de cada una de las letras $a, b,$ y $c$. Define un intercambio como la transposición de dos letras adyacentes en un camaleón. Demuestra que para cualquier camaleón $X$, existe un camaleón $Y$ tal que $X$ no puede ser cambiado a $Y$ usando menos de $3n^2/2$ intercambios.

Un rectángulo $\mathcal{R}$ con longitudes de lados enteros impares se divide en pequeños rectángulos con longitudes de lados enteros. Demuestra que hay al menos uno entre los pequeños rectángulos cuyas distancias desde los cuatro lados de $\mathcal{R}$ son todas impares o todas pares.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que, para cualquier número real $x$ e $y$, \[ f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). \]

Una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene la siguiente propiedad: $$\text{Para todo } x,y \in \mathbb{R} \text{ tal que }(f(x)+y)(f(y)+x) > 0, \text{ tenemos } f(x)+y = f(y)+x.$$ Pruebe que $f(x)+y \leq f(y)+x$ siempre que $x>y$ .

Sean $a_0,a_1,a_2,\ldots$ una secuencia de enteros y $b_0,b_1,b_2,\ldots$ una secuencia de enteros positivos tales que $a_0=0,a_1=1$ , y \[ a_{n+1} = \t \begin{cases} a_nb_n+a_{n-1} & \text{si $b_{n-1}=1$} \\ a_nb_n-a_{n-1} & \text{si $b_{n-1}>1$} \t \end{cases}\qquad\text{para }n=1,2,\ldots. \] para $n=1,2,\ldots.$ Pruebe que al menos uno de los dos números $a_{2017}$ y $a_{2018}$ debe ser mayor o igual a $2017$ .

Sea $n \geq 3$ un entero dado. Llamamos a una $n$-tupla de números reales $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ Brillante si para cada permutación $y_1, y_2, \dots, y_n$ de estos números, tenemos $$\sum \limits_{i=1}^{n-1} y_i y_{i+1} = y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_4 + \cdots + y_{n-1}y_n \geq -1.$$ Encuentra la constante más grande $K = K(n)$ tal que $$\sum \limits_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j \geq K$$ se cumple para cada $n$-tupla Brillante $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ .